Cos 80 / (cos 40 + sin 40 )

Для расчета данного выражения сначала используем формулы сложения и разности тригонометрических функций:

cos(80) = cos(40 + 40) = cos(40)cos(40) - sin(40)sin(40) = cos^2(40) - sin^2(40) cos(40) = cos^2(40) - sin^2(40) sin(40) = 2sin(20)cos(20)

Подставим полученные значения в исходное выражение:

cos(80) / (cos(40) + sin(40)) = (cos^2(40) - sin^2(40)) / (cos(40) + 2sin(20)cos(20))

Далее можно продолжить преобразования, используя известные формулы и замены, чтобы упростить данное выражение.

Для решения выражения (\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

1. Использование тригонометрических идентичностей:

   Известно, что: [ \cos(90^\circ - x) = \sin x ]

   Применим это тождество для углов: [ \cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ ]

   Таким образом, выражение становится: [ \frac{\sin 10^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} ]

2. Выражение (\cos 40^\circ) через (\sin 50^\circ):

   Зная, что: [ \cos x = \sin (90^\circ - x) ]

   можем записать: [ \cos 40^\circ = \sin 50^\circ ]

   Теперь наше выражение выглядит так: [ \frac{\sin 10^\circ}{\sin 50^\circ + \sin 40^\circ} ]

3. Применение суммы синусов:

   Используем формулу для суммы синусов: [ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) ]

   Подставляем (A = 50^\circ) и (B = 40^\circ): [ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin \left(\frac{50^\circ + 40^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{50^\circ - 40^\circ}{2}\right) ]

   Упрощаем выражение: [ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ ]

   Итак, наше выражение теперь: [ \frac{\sin 10^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ} ]

4. Упрощение выражения:

   Зная, что (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), подставляем это значение: [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Следовательно: [ 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ = \sqrt{2} \cos 5^\circ ]

   Наше выражение теперь: [ \frac{\sin 10^\circ}{\sqrt{2} \cos 5^\circ} ]

5. Использование формул двойного угла:

   Применим формулу для (\sin 10^\circ): [ \sin 10^\circ = 2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ ]

   Таким образом, выражение становится: [ \frac{2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \cos 5^\circ} ]

6. Сокращение выражения:

   Сократим (\cos 5^\circ) в числителе и знаменателе: [ \frac{2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \cos 5^\circ} = \frac{2 \sin 5^\circ}{\sqrt{2}} ]

   Упростим: [ \frac{2 \sin 5^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sin 5^\circ \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin 5^\circ ]

Итак, окончательное значение выражения: [ \frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \sqrt{2} \sin 5^\circ ]

На этом решение закончено.