Cos b/1- sin b - cos b/1+sin b=2 tg b Докажите тождество

Чтобы доказать тождество

[ \frac{\cos b}{1 - \sin b} - \frac{\cos b}{1 + \sin b} = 2 \tan b, ]

начнем с левой части выражения:

[ \frac{\cos b}{1 - \sin b} - \frac{\cos b}{1 + \sin b}. ]

Для упрощения воспользуемся формулой разности дробей с одинаковым числителем:

[ \frac{\cos b}{1 - \sin b} - \frac{\cos b}{1 + \sin b} = \cos b \left( \frac{1}{1 - \sin b} - \frac{1}{1 + \sin b} \right). ]

Объединим дроби в скобках:

[ \frac{1}{1 - \sin b} - \frac{1}{1 + \sin b} = \frac{(1 + \sin b) - (1 - \sin b)}{(1 - \sin b)(1 + \sin b)}. ]

Упростим числитель:

[ (1 + \sin b) - (1 - \sin b) = 1 + \sin b - 1 + \sin b = 2 \sin b. ]

Теперь знаменатель:

[ (1 - \sin b)(1 + \sin b) = 1 - \sin^2 b = \cos^2 b. ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{2 \sin b}{\cos^2 b}. ]

Подставляем это обратно в выражение с (\cos b):

[ \cos b \cdot \frac{2 \sin b}{\cos^2 b} = \frac{2 \sin b \cos b}{\cos^2 b}. ]

Упростим дробь:

[ \frac{2 \sin b \cos b}{\cos^2 b} = 2 \cdot \frac{\sin b}{\cos b} = 2 \tan b. ]

Таким образом, мы показали, что

[ \frac{\cos b}{1 - \sin b} - \frac{\cos b}{1 + \sin b} = 2 \tan b, ]

что и требовалось доказать.

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Начнем с левой части уравнения: cos b / (1 - sin b) - cos b / (1 + sin b)

2. Преобразуем каждое слагаемое отдельно, используя формулу тригонометрического тангенса: tg b = sin b / cos b

3. Далее, упростим числитель каждого слагаемого: cos b = cos^2 b / cos b = (1 - sin^2 b) / cos b

4. Теперь заменим числитель в каждом слагаемом и приведем общий знаменатель: [(1 - sin^2 b) / cos b] / (1 - sin b) - [(1 - sin^2 b) / cos b] / (1 + sin b)

5. Упростим дроби: [(1 - sin^2 b) / cos b (1 + sin b) - (1 - sin^2 b) / cos b (1 - sin b)] / (1 - sin^2 b)

6. Далее упрощаем числитель и знаменатель: [(1 - sin^2 b + sin b - sin^3 b - 1 + sin^2 b + sin b - sin^3 b) / cos b] / (1 - sin^2 b)

7. Получаем: [2sin b - 2sin^3 b / cos b] / (1 - sin^2 b)

8. Учитывая, что sin b / cos b = tg b, получаем: 2tg b * (1 - sin^2 b) / (1 - sin^2 b)

9. Далее упрощаем: 2tg b

Таким образом, мы доказали тождество cos b / (1 - sin b) - cos b / (1 + sin b) = 2tg b.