Cos(4x/3-3п/4)=под корнем 2/2

Для решения уравнения ( \cos\left(\frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ) мы сначала вспомним, при каких значениях аргумент косинуса равен ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Значения косинуса равны ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) при следующих углах:

[ \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, мы можем записать два уравнения:

1. ( \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi )
2. ( \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi )

Теперь решим каждое уравнение по очереди.

Первое уравнение

[ \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

Добавим ( \frac{3\pi}{4} ) к обеим сторонам:

[ \frac{4x}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

Сложим дроби:

[ \frac{4x}{3} = \pi + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на ( \frac{3}{4} ):

[ x = \frac{3}{4}(\pi + 2k\pi) = \frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2}k\pi ]

Второе уравнение

[ \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

Добавим ( \frac{3\pi}{4} ) к обеим сторонам:

[ \frac{4x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

Сложим дроби:

[ \frac{4x}{3} = \frac{2\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi ]

Умножим обе стороны на ( \frac{3}{4} ):

[ x = \frac{3}{4}\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{3}{2}k\pi ]

Итоговые решения

Таким образом, мы получили два семейства решений:

1. ( x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2}k\pi )
2. ( x = \frac{3\pi}{8} + \frac{3}{2}k\pi )

где ( k \in \mathbb{Z} ) — любое целое число. Эти выражения представляют собой все решения исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение:

[ \cos\left(\frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Давайте решим это пошагово.

1. Напомним основные значения косинуса

Косинус угла равен (\frac{\sqrt{2}}{2}) в следующих случаях (в пределах одного оборота, (0 \leq \theta < 2\pi)):

[ \theta = \frac{\pi}{4} \quad \text{или} \quad \theta = \frac{7\pi}{4}. ]

Эти значения соответствуют углам, где косинус положителен (I и IV квадранты).

2. Общий вид решения

Косинус — это периодическая функция с периодом (2\pi). Поэтому общий вид решения для уравнения (\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}) будет:

[ \alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, ]

где (n \in \mathbb{Z}) — любое целое число.

3. Переходим к конкретному уравнению

Вместо (\alpha) у нас выражение (\frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4}). Подставим его в общий вид решения:

[ \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n ] или [ \frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n. ]

Рассмотрим оба случая отдельно.

Случай 1: (\frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n)

Добавим (\frac{3\pi}{4}) к обеим частям уравнения:

[ \frac{4x}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n. ]

Упростим правую часть:

[ \frac{4x}{3} = \pi + 2\pi n. ]

Теперь умножим обе части на (\frac{3}{4}), чтобы найти (x):

[ x = \frac{3}{4} \cdot (\pi + 2\pi n). ]

Раскроем скобки:

[ x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}. ]

Случай 2: (\frac{4x}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)

Добавим (\frac{3\pi}{4}) к обеим частям уравнения:

[ \frac{4x}{3} = \frac{7\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n. ]

Упростим правую часть:

[ \frac{4x}{3} = 2\pi + 2\pi n. ]

Теперь умножим обе части на (\frac{3}{4}), чтобы найти (x):

[ x = \frac{3}{4} \cdot (2\pi + 2\pi n). ]

Раскроем скобки:

[ x = \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}. ]

4. Общее решение

Объединяя оба случая, получаем общее решение:

[ x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Если нужно, можно записать это в виде единого выражения:

[ x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}, ]

где (k = 2n) для первого случая и (k = 2n + 1) для второго случая.

Ответ

Общее решение уравнения:

[ x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. ]