ДАМ 30 БАЛЛОВ Решите систему уравнений методом подстановки: x^2-y^2=24 И x-2y=7

Для решения системы уравнений методом подстановки, давайте сначала выразим одну переменную через другую из одного из уравнений. В данной системе у нас есть:

1. ( x^2 - y^2 = 24 ) (уравнение 1)
2. ( x - 2y = 7 ) (уравнение 2)

Начнем с уравнения 2, чтобы выразить ( x ) через ( y ):

[ x = 2y + 7 ]

Теперь подставим это выражение для ( x ) в уравнение 1:

[ (2y + 7)^2 - y^2 = 24 ]

Распишем левую часть уравнения:

[ (2y + 7)(2y + 7) - y^2 = 24 ]

[ 4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24 ]

Теперь упрощаем уравнение:

[ 4y^2 - y^2 + 28y + 49 - 24 = 0 ]

[ 3y^2 + 28y + 25 = 0 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для этого найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 ] [ D = 784 - 300 = 484 ]

Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения есть два различных корня. Найдем корни с помощью формулы:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 3} ]

[ y = \frac{-28 \pm 22}{6} ]

Теперь вычисляем два возможных значения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{-28 + 22}{6} = \frac{-6}{6} = -1 )
2. ( y_2 = \frac{-28 - 22}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3} )

Теперь подставим найденные значения ( y ) обратно в выражение для ( x ):

Для ( y_1 = -1 ): [ x = 2(-1) + 7 = -2 + 7 = 5 ]

Таким образом, первая пара решений: ( (x, y) = (5, -1) ).

Для ( y_2 = -\frac{25}{3} ): [ x = 2\left(-\frac{25}{3}\right) + 7 = -\frac{50}{3} + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} ]

Таким образом, вторая пара решений: ( (x, y) = \left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right) ).

Теперь мы имеем два решения системы уравнений:

1. ( (x, y) = (5, -1) )
2. ( (x, y) = \left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right) )

Таким образом, мы успешно решили систему уравнений методом подстановки.

Для решения системы уравнений:

1. Из второго уравнения выразим ( x ): [ x = 2y + 7 ]

2. Подставим ( x ) в первое уравнение: [ (2y + 7)^2 - y^2 = 24 ]

3. Раскроем скобки: [ 4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24 ] [ 3y^2 + 28y + 25 = 0 ]

4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 784 - 300 = 484 ] [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm 22}{6} ] [ y_1 = \frac{-6}{6} = -1, \quad y_2 = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3} ]

5. Найдем соответствующие значения ( x ): [ x_1 = 2(-1) + 7 = 5 ] [ x_2 = 2\left(-\frac{25}{3}\right) + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} ]

Таким образом, решения системы:

1. ( (5, -1) )
2. ( \left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right) )

Решим систему уравнений методом подстановки. Нам дана следующая система:

1. ( x^2 - y^2 = 24 )
2. ( x - 2y = 7 )

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения.

Из второго уравнения выразим ( x ) через ( y ):

[ x - 2y = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 2y + 7 ]

Шаг 2: Подставим выражение для ( x ) в первое уравнение.

Подставим ( x = 2y + 7 ) в первое уравнение ( x^2 - y^2 = 24 ):

[ (2y + 7)^2 - y^2 = 24 ]

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

[ (2y + 7)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 7 + 7^2 = 4y^2 + 28y + 49 ]

Теперь уравнение становится:

[ 4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24 ]

Упростим:

[ 4y^2 - y^2 + 28y + 49 = 24 ]

[ 3y^2 + 28y + 49 = 24 ]

Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду.

[ 3y^2 + 28y + 49 - 24 = 0 ]

[ 3y^2 + 28y + 25 = 0 ]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Используем дискриминант для решения уравнения ( 3y^2 + 28y + 25 = 0 ). Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

Коэффициенты уравнения: ( a = 3 ), ( b = 28 ), ( c = 25 ). Подставим их в формулу дискриминанта:

[ D = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 ]

[ D = 784 - 300 = 484 ]

Дискриминант ( D = 484 ) — положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения ( a ), ( b ), и ( D ):

[ y = \frac{-28 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 3} ]

[ y = \frac{-28 \pm 22}{6} ]

Рассмотрим два случая:

1. ( y = \frac{-28 + 22}{6} = \frac{-6}{6} = -1 )
2. ( y = \frac{-28 - 22}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3} )

Шаг 5: Найдем соответствующие значения ( x ).

Теперь подставим найденные значения ( y ) в выражение ( x = 2y + 7 ).

1. Если ( y = -1 ), то:

[ x = 2(-1) + 7 = -2 + 7 = 5 ]

1. Если ( y = -\frac{25}{3} ), то:

[ x = 2\left(-\frac{25}{3}\right) + 7 = -\frac{50}{3} + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} ]

Шаг 6: Запишем ответ.

Система уравнений имеет два решения:

1. ( x = 5 ), ( y = -1 )
2. ( x = -\frac{29}{3} ), ( y = -\frac{25}{3} )

Ответ:
[ \boxed{(5, -1) \text{ и } \left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right)} ]