Дана функция f(x)=2x-1. Найдите её первообразную F(x), если F(2)=0,5

Чтобы найти первообразную ( F(x) ) функции ( f(x) = 2x - 1 ), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл ( F(x) )

Первообразная функции ( f(x) ) — это функция, производная которой равна ( f(x) ). Для этого вычислим неопределенный интеграл ( \int f(x) \, dx ):

[ F(x) = \int (2x - 1) \, dx ]

Интегрируем каждое слагаемое отдельно: [ \int 2x \, dx = x^2 \quad \text{и} \quad \int (-1) \, dx = -x. ]

Таким образом, общий вид первообразной: [ F(x) = x^2 - x + C, ] где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Используем начальное условие ( F(2) = 0.5 )

Чтобы найти конкретное значение константы ( C ), подставим в найденную первообразную функцию значение ( x = 2 ) и ( F(2) = 0.5 ):

[ F(2) = 2^2 - 2 + C = 0.5. ]

Выполним вычисления: [ 4 - 2 + C = 0.5. ]

Упростим: [ 2 + C = 0.5. ]

Найдём ( C ): [ C = 0.5 - 2 = -1.5. ]

Шаг 3: Запишем окончательный вид первообразной

Подставим ( C = -1.5 ) в общий вид первообразной: [ F(x) = x^2 - x - 1.5. ]

Ответ:

Первообразная функции ( f(x) = 2x - 1 ), удовлетворяющая условию ( F(2) = 0.5 ), имеет вид: [ F(x) = x^2 - x - 1.5. ]

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2x - 1 ), необходимо выполнить интегрирование этой функции.

1. Интегрирование: [ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (2x - 1) \, dx ] Интегрируем каждую часть:

   • Интеграл от ( 2x ) равен ( x^2 ).
   • Интеграл от ( -1 ) равен ( -x ).

   Таким образом, получаем: [ F(x) = x^2 - x + C ] где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

2. Использование условия ( F(2) = 0.5 ): Теперь, чтобы найти значение константы ( C ), подставим в выражение ( F(x) ) значение ( x = 2 ): [ F(2) = 2^2 - 2 + C = 4 - 2 + C = 2 + C ] Поскольку по условию ( F(2) = 0.5 ), подставим это значение: [ 2 + C = 0.5 ] Выразим ( C ): [ C = 0.5 - 2 = -1.5 ]

3. Запись окончательной формы первообразной: Теперь, подставив найденное значение ( C ) в выражение для ( F(x) ), получаем: [ F(x) = x^2 - x - 1.5 ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 2x - 1 ) с условием ( F(2) = 0.5 ) равна: [ F(x) = x^2 - x - 1.5 ]

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2x - 1 ), нужно проинтегрировать её:

[ F(x) = \int (2x - 1) \, dx = x^2 - x + C, ]

где ( C ) — произвольная константа.

Теперь используем условие ( F(2) = 0.5 ):

[ F(2) = 2^2 - 2 + C = 4 - 2 + C = 2 + C. ]

Приравниваем к 0.5:

[ 2 + C = 0.5 \implies C = 0.5 - 2 = -1.5. ]

Таким образом, первообразная функции будет:

[ F(x) = x^2 - x - 1.5. ]