Дана функция f(x)= -x^3+3x+2 : а) найдите промежутки возрастания и убывания функции; б) найдите наибольшее...

а) Функция возрастает на промежутках (-бесконечность; -1) и (1; +бесконечность), убывает на промежутке (-1;1). б) Наибольшее значение функции на промежутке [1;3] равно 4, наименьшее значение равно 0.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции f(x). Производная функции f(x) равна f'(x) = -3x^2 + 3. Для нахождения точек экстремума приравниваем производную к нулю: -3x^2 + 3 = 0. Решив это уравнение, получаем x = ±1. Это значит, что функция f(x) возрастает на промежутке (-∞; -1) и убывает на промежутке (-1; +∞).

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [1;3] необходимо найти значения функции в точках 1, 3 и в точках экстремума. Подставим значения x = 1, x = 3, x = -1 в функцию f(x): f(1) = -1^3 + 31 + 2 = 4, f(3) = -3^3 + 33 + 2 = -16, f(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1) + 2 = -2. Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [1;3] равно 4, а наименьшее значение равно -16.

Для анализа функции ( f(x) = -x^3 + 3x + 2 ) рассмотрим следующее:

а) Промежутки возрастания и убывания функции

1. Найдём производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3 ]

2. Найдём критические точки, где производная равна нулю или не определена: [ -3x^2 + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad -3(x^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ]

3. Определим знаки производной на промежутках, разделённых критическими точками:

   • Для ( x < -1 ), выберем, например, ( x = -2 ): [ f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 \quad (\text{отрицательная}) ]
   • Для ( -1 < x < 1 ), выберем ( x = 0 ): [ f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 \quad (\text{положительная}) ]
   • Для ( x > 1 ), выберем ( x = 2 ): [ f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 \quad (\text{отрицательная}) ]

4. Интервалы возрастания и убывания:

   • Функция возрастает на интервале ((-1, 1)).
   • Функция убывает на интервалах ((-\infty, -1)) и ((1, \infty)).

б) Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке ([1, 3])

1. Рассмотрим критические точки и концы отрезка:

   • Внутри отрезка ([1, 3]) есть только одна критическая точка ( x = 1 ), но мы уже знаем, что на этом интервале функция убывает.
   • Проверим значение функции на концах отрезка ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

2. Вычислим значения функции в этих точках:

   • ( f(1) = -(1)^3 + 3 \cdot 1 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 )
   • ( f(3) = -(3)^3 + 3 \cdot 3 + 2 = -27 + 9 + 2 = -16 )

3. Сравним значения:

   • Наибольшее значение функции на отрезке ([1, 3]) равно ( 4 ) при ( x = 1 ).
   • Наименьшее значение функции на отрезке ([1, 3]) равно (-16) при ( x = 3 ).

Таким образом, функция возрастает на интервале ((-1, 1)) и убывает на интервалах ((-\infty, -1)) и ((1, \infty)). Наибольшее значение на отрезке ([1, 3]) равно 4, а наименьшее — -16.