Дана геометрическая прогрессия 32 16 найдите сумму членов прогрессии с четвертого по седьмой включительно

Для нахождения суммы членов геометрической прогрессии нужно воспользоваться формулой для суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где S_n - сумма n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов.

Из условия задачи:

a = 32, r = 1/2 (так как каждый следующий член прогрессии в два раза меньше предыдущего), n = 4 (четвертый член) - 7 (седьмой член).

Теперь подставим значения в формулу:

S_4-7 = 32 (1 - (1/2)^4) / (1 - 1/2) = 32 (1 - 1/16) / (1/2) = 32 (15/16) / (1/2) = 32 15 / 8 = 480 / 8 = 60.

Итак, сумма членов прогрессии с четвертого по седьмой включительно равна 60.

Сумма членов прогрессии с четвертого по седьмой включительно равна 120.

Для решения задачи найдем сумму членов геометрической прогрессии с четвертого по седьмой включительно. Сначала нужно определить основные параметры прогрессии: первый член ( a_1 ) и знаменатель ( q ).

В данной прогрессии первые два члена ( a_1 = 32 ) и ( a_2 = 16 ). Знаменатель прогрессии ( q ) можно найти, разделив второй член на первый:

[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} ]

Теперь используем формулу для нахождения ( n )-го члена геометрической прогрессии:

[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]

Найдем члены прогрессии с четвертого по седьмой включительно:

1. Четвертый член (( a_4 )): [ a_4 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 32 \cdot \frac{1}{8} = 4 ]

2. Пятый член (( a_5 )): [ a_5 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 32 \cdot \frac{1}{16} = 2 ]

3. Шестой член (( a_6 )): [ a_6 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 32 \cdot \frac{1}{32} = 1 ]

4. Седьмой член (( a_7 )): [ a_7 = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7-1} = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 32 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{2} ]

Теперь найдем сумму членов прогрессии с четвертого по седьмой включительно. Сумма ( S ) геометрической прогрессии от ( n )-го до ( m )-го члена (включительно) вычисляется по формуле:

[ S = a_n \frac{1 - q^{m-n+1}}{1 - q} ]

В данном случае ( n = 4 ) и ( m = 7 ), таким образом:

[ S = 4 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{7-4+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^4}{\frac{1}{2}} ]

[ S = 4 \cdot \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{15}{16} \cdot 2 = 4 \cdot \frac{30}{16} = 4 \cdot \frac{15}{8} ]

[ S = \frac{60}{8} = 7.5 ]

Таким образом, сумма членов геометрической прогрессии с четвертого по седьмой включительно равна 7.5.