Дано: D-середина AC угол ADF=90° доказать: треугольник ABC-ранобедренный

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно установить, что отрезки AD и CD равны (так как D - середина отрезка AC), что угол ADF равен 90 градусов (по условию) и что углы A и C равны.

Так как AD = CD (D - середина AC), у нас получается, что треугольник ACD является равнобедренным. Значит, углы A и C равны друг другу.

Теперь рассмотрим треугольник ADF. У нас есть угол ADF = 90 градусов (по условию). Так как угол ADF равен 90 градусов, то угол DAF также равен 90 градусов (дополнительный угол). А так как угол A является равным углу C, то угол CDF также равен 90 градусов.

Таким образом, у нас есть равные углы при вершине C и равные стороны AD и CD, что говорит о том, что треугольник ABC является равнобедренным.

Рассмотрим задачу: у нас есть отрезок ( AC ), и точка ( D ) является серединой этого отрезка. Также дано, что угол ( \angle ADF = 90^\circ ). Нам нужно доказать, что треугольник ( \triangle ABC ) является равнобедренным.

1. Анализ условия:

   • Так как ( D ) — середина отрезка ( AC ), то ( AD = DC ).
   • Угол ( \angle ADF = 90^\circ ) предполагает, что точка ( F ) находится на перпендикуляре, проведённом из точки ( D ) к линии ( AC ).

2. Построение дополнительных элементов:

   • Проведём перпендикуляр ( DF ) к линии ( AC ) из точки ( D ).
   • Теперь рассмотрим треугольники ( \triangle ADF ) и ( \triangle CDF ). Эти треугольники прямоугольные, так как оба имеют угол ( \angle ADF = \angle CDF = 90^\circ ).

3. Равенство треугольников:

   • В треугольниках ( \triangle ADF ) и ( \triangle CDF ) у нас есть:
     • Общая сторона ( DF ),
     • ( AD = DC ) по условию,
     • Угол ( \angle ADF = \angle CDF = 90^\circ ).
   • По гипотенузе и острому углу (или катету) треугольники ( \triangle ADF ) и ( \triangle CDF ) равны по теореме о равенстве прямоугольных треугольников.

4. Следствие из равенства треугольников:

   • Из равенства треугольников следует, что ( AF = CF ).

5. Доказательство равнобедренности треугольника ( \triangle ABC ):

   • Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ).
   • Поскольку ( AF = CF ), отрезки ( AB ) и ( BC ) равны (так как ( F ) является серединой ( AB ) и ( BC )), то есть ( AB = BC ).

Таким образом, мы доказали, что треугольник ( \triangle ABC ) является равнобедренным.