Даны точки а (-1;5;3) в(-1-3 9) с (3;-2;6) а) доказать что треуг авс прямоуг б) найти длину медианы...

а) Для доказательства того, что треугольник прямоугольный, нужно проверить, что квадрат длины самого длинного отрезка равен сумме квадратов длин двух других отрезков. б) Длина медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы.

а) Для доказательства того, что треугольник является прямоугольным, нужно проверить, что сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы. Для этого найдем длины сторон треугольника по формуле длины отрезка в пространстве: AB = √((-1 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2 + (3 - 9)^2) = √(0 + 64 + 36) = √100 = 10, BC = √((-1 - 3)^2 + (5 - (-2))^2 + (3 - 6)^2) = √(16 + 49 + 9) = √74, AC = √((-1 - 3)^2 + (5 - (-2))^2 + (3 - 6)^2) = √(16 + 49 + 9) = √74.

Теперь найдем квадраты длин сторон: AB^2 = 100, BC^2 = 74, AC^2 = 74.

Так как 100 = 74 + 74, то треугольник прямоугольный.

б) Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы. Так как мы уже нашли длины сторон треугольника, то длина медианы из вершины прямого угла равна половине длины гипотенузы AC = √74 / 2 = √18.

Для решения задачи сначала нужно понять, как доказать, что треугольник ( \triangle ABC ) является прямоугольным, а затем найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

а) Доказательство, что треугольник ( \triangle ABC ) является прямоугольным.

Для этого мы используем скалярное произведение векторов. Если векторы, образующие два из трех сторон треугольника, перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем векторы ( \overrightarrow{AB} ), ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1-3, 9-5, 0-3) = (-4, 4, -3) ] [ \overrightarrow{BC} = C - B = (3-(-1), -2-9, 6-0) = (4, -11, 6) ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (3-(-1), -2-5, 6-3) = (4, -7, 3) ]

Теперь найдем скалярные произведения этих векторов:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4) \cdot 4 + 4 \cdot (-11) + (-3) \cdot 6 = -16 - 44 - 18 = -78 ] [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4) \cdot 4 + 4 \cdot (-7) + (-3) \cdot 3 = -16 - 28 - 9 = -53 ] [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 4 + (-11) \cdot (-7) + 6 \cdot 3 = 16 + 77 + 18 = 111 ]

Как видно, ни одно из скалярных произведений не равно нулю, что означает, что векторы не перпендикулярны. Однако, возможно, мы допустили ошибку в вычислениях. Проверьте векторы еще раз:

[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - (-1), -3 - 5, 9 - 3) = (0, -8, 6) ] [ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1), -2 - (-3), 6 - 9) = (4, 1, -3) ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3) ]

Теперь пересчитаем скалярные произведения:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (0) \cdot 4 + (-8) \cdot 1 + 6 \cdot (-3) = 0 - 8 - 18 = -26 ] [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0) \cdot 4 + (-8) \cdot (-7) + 6 \cdot 3 = 0 + 56 + 18 = 74 ] [ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 4 + 1 \cdot (-7) + (-3) \cdot 3 = 16 - 7 - 9 = 0 ]

Теперь видно, что ( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 ), что означает, что векторы ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{AC} ) перпендикулярны. Следовательно, треугольник ( ABC ) прямоугольный с прямым углом при вершине ( C ).

б) Найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Найдем длину гипотенузы ( AB ):

[ AB = \sqrt{(0)^2 + (-8)^2 + 6^2} = \sqrt{0 + 64 + 36} = \sqrt{100} = 10 ]

Таким образом, медиана, проведенная из вершины ( C ), равна половине гипотенузы:

[ \text{Медиана} = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]

Ответы: а) Треугольник ( ABC ) является прямоугольным с прямым углом при вершине ( C ). б) Длина медианы, проведенной из вершины ( C ), равна 5.