Даны точки М -2;-1 и N -4;3. составьте уравнение окружности , для которой отрезок MN-диаметр

Для того чтобы составить уравнение окружности, для которой отрезок ( MN ) является диаметром, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты центра окружности.

Центр окружности ( O(x_c, y_c) ) является серединой отрезка ( MN ). Координаты середины отрезка можно найти по формуле: [ x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} ]

Подставим координаты точек ( M(-2, -1) ) и ( N(-4, 3) ): [ x_c = \frac{-2 + (-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 ] [ y_c = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 ]

Таким образом, координаты центра окружности: [ O(-3, 1) ]

1. Найти радиус окружности.

Радиус окружности ( R ) равен половине длины диаметра ( MN ). Чтобы найти длину отрезка ( MN ), используем формулу расстояния между двумя точками: [ MN = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Подставим координаты точек ( M(-2, -1) ) и ( N(-4, 3) ): [ MN = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-4 + 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Радиус окружности: [ R = \frac{MN}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} ]

1. Составить уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке ( (x_c, y_c) ) и радиусом ( R ) имеет вид: [ (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2 ]

Подставим найденные значения ( x_c = -3 ), ( y_c = 1 ) и ( R = \sqrt{5} ): [ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 ]

Упростим уравнение: [ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 ]

Таким образом, уравнение окружности, для которой отрезок ( MN ) является диаметром, имеет вид: [ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 ]

Для того чтобы найти уравнение окружности, нужно знать координаты ее центра и радиус. Поскольку отрезок MN является диаметром, то центр окружности будет находиться посередине этого отрезка. Найдем координаты центра окружности:

x = (x1 + x2) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3 y = (y1 + y2) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты центра окружности равны (-3;1). Теперь найдем радиус окружности, который равен половине длины отрезка MN:

r = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) / 2 = √((-4 + 2)^2 + (3 + 1)^2) / 2 = √(2^2 + 4^2) / 2 = √(4 + 16) / 2 = √20 / 2 = √5

Итак, уравнение окружности имеет вид:

(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5