Даны три точки А(-1,3,-5) В(4,2,-5) С(0,-2,-5). Вычислить: 1.Длину медианы АМ 2.Периметр треугольника...

Давайте решим поставленные задачи поэтапно.

1. Длина медианы АМ

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана АМ соединяет точку (A(-1,3,-5)) с серединой стороны BC.

Для начала, найдем координаты середины стороны BC. Координаты середины (M) можно найти как средние арифметические соответствующих координат точек B и C:

[ M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2 ]

[ M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 ]

[ M_z = \frac{B_z + C_z}{2} = \frac{-5 + (-5)}{2} = -5 ]

Итак, координаты точки M: (M(2, 0, -5)).

Теперь вычислим длину медианы AM. Длина вектора ( \overrightarrow{AM} ) находится по формуле расстояния между двумя точками:

[ AM = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2 + (M_z - A_z)^2} ]

Подставим найденные координаты:

[ AM = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2} ]

[ AM = \sqrt{(2 + 1)^2 + (0 - 3)^2 + 0^2} ]

[ AM = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0} ]

[ AM = \sqrt{9 + 9} ]

[ AM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

2. Периметр треугольника АВС

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Найдем длины сторон AB, BC и AC.

Для стороны AB:

[ AB = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2 + (B_z - A_z)^2} ]

[ AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (2 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2} ]

[ AB = \sqrt{(4 + 1)^2 + (2 - 3)^2 + 0} ]

[ AB = \sqrt{5^2 + (-1)^2} ]

[ AB = \sqrt{25 + 1} ]

[ AB = \sqrt{26} ]

Для стороны BC:

[ BC = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2 + (C_z - B_z)^2} ]

[ BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (-5 - (-5))^2} ]

[ BC = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 0} ]

[ BC = \sqrt{16 + 16} ]

[ BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

Для стороны AC:

[ AC = \sqrt{(C_x - A_x)^2 + (C_y - A_y)^2 + (C_z - A_z)^2} ]

[ AC = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2} ]

[ AC = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 0} ]

[ AC = \sqrt{1 + 25} ]

[ AC = \sqrt{26} ]

Теперь сложим все стороны:

[ P = AB + BC + AC ]

[ P = \sqrt{26} + 4\sqrt{2} + \sqrt{26} ]

[ P = 2\sqrt{26} + 4\sqrt{2} ]

3. Косинус угла C

Для нахождения косинуса угла (C) нужно воспользоваться скалярным произведением векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BC} ).

Векторы:

[ \overrightarrow{AC} = (0 - (-1), -2 - 3, -5 - (-5)) = (1, -5, 0) ]

[ \overrightarrow{BC} = (0 - 4, -2 - 2, -5 - (-5)) = (-4, -4, 0) ]

Скалярное произведение векторов:

[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (1 \cdot -4) + (-5 \cdot -4) + (0 \cdot 0) = -4 + 20 + 0 = 16 ]

Длины векторов:

[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + 0} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} ]

[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 0} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

Косинус угла между векторами:

[ \cos C = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} ]

[ \cos C = \frac{16}{\sqrt{26} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{16}{4\sqrt{52}} = \frac{16}{4 \cdot \sqrt{52}} = \frac{4}{\sqrt{52}} = \frac{2}{\sqrt{13}} ]

Таким образом, косинус угла (C):

[ \cos C = \frac{2}{\sqrt{13}} ]

1. Длина медианы АМ: √(((-1+4)/2)^2 + ((3+2)/2)^2 + ((-5-(-5))/2)^2) = √(1^2 + 2.5^2 + 0^2) = √(1 + 6.25) = √7.25
2. Периметр треугольника АВС: AB + AC + BC = √((4+1)^2 + (2-3)^2 + (-5+5)^2) + √((0+1)^2 + (-2-3)^2 + (-5+5)^2) + √((4-0)^2 + (2+2)^2 + (-5+5)^2) = √(25 + 1 + 0) + √(1 + 25 + 0) + √(16 + 16 + 0) = √26 + √26 + √32 = 2√26 + 2√26 + 4√2 = 4√26 + 4√2
3. Косинус угла С: cos(C) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC) = ((4-1)^2 + (2+3)^2 + (-5+5)^2) / (2 √26 √26) = (9 + 25) / 52 = 34 / 52 = 17 / 26

1. Для вычисления длины медианы АМ необходимо найти координаты точки М, которая является серединой отрезка АС. Для этого найдем среднее арифметическое координат точек A и C: М( (-1+0)/2, (3-2)/2, (-5-5)/2 ) = М( -0.5, 0.5, -5 )

   Теперь вычислим длину медианы АМ, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: |АМ| = √( (-1 - (-0.5))^2 + (3 - 0.5)^2 + (-5 - (-5))^2 ) = √( 0.5^2 + 2.5^2 + 0^2 ) = √( 0.25 + 6.25 ) = √6.5

   Таким образом, длина медианы АМ равна √6.5.

2. Для вычисления периметра треугольника АВС необходимо вычислить длины сторон треугольника АВС. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: |AB| = √( (4 - (-1))^2 + (2 - 3)^2 + (-5 - (-5))^2 ) = √( 5^2 + 1^2 + 0^2 ) = √26 |BC| = √( (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (-5 - (-5))^2 ) = √( 4^2 + 4^2 + 0^2 ) = √32 |CA| = √( (-1 - 0)^2 + (3 - (-2))^2 + (-5 - (-5))^2 ) = √( 1^2 + 5^2 + 0^2 ) = √26

   Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон: P = |AB| + |BC| + |CA| = √26 + √32 + √26 = √26 + √26 + √32 = 2√26 + √32

   Таким образом, периметр треугольника АВС равен 2√26 + √32.

3. Для вычисления косинуса угла C в треугольнике АВС воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами: cosС = (AB AC) / (|AB| |AC|)

   Где AB и AC - вектора, соединяющие вершины треугольника, а |AB| и |AC| - длины этих векторов. Значение AB уже было найдено ранее.

   AB = (4 - (-1), 2 - 3, -5 - (-5)) = (5, -1, 0) AC = (0 - (-1), -2 - 3, -5 - (-5)) = (1, -5, 0)

   Вычислим скалярное произведение AB и AC: AB AC = 5 1 + (-1) (-5) + 0 0 = 5 + 5 = 10

   Теперь найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √(5^2 + (-1)^2 + 0^2) = √26 |AC| = √(1^2 + (-5)^2 + 0^2) = √26

   Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла C: cosС = 10 / (√26 * √26) = 10 / 26 = 5 / 13

   Таким образом, косинус угла C в треугольнике АВС равен 5 / 13.