Даны векторы а=(2;-4;5) b=(4;-3;5).Вычислительной косинус угла между ними
Даны векторы а=(2;-4;5) b=(4;-3;5).Вычислительной косинус угла между ними
Чтобы найти косинус угла между двумя векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), используем формулу косинуса угла между векторами:
[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]
где ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов, а ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — их длины.
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ]
Подставим значения:
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) + 5 \cdot 5 = 8 + 12 + 25 = 45 ]
Для вектора ( \mathbf{a} = (2, -4, 5) ):
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} ]
Для вектора ( \mathbf{b} = (4, -3, 5) ):
[ |\mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} ]
[ \cos \theta = \frac{45}{\sqrt{45} \times \sqrt{50}} ]
Упростим выражение:
[ \cos \theta = \frac{45}{\sqrt{2250}} ]
[ \sqrt{2250} = \sqrt{225 \times 10} = 15\sqrt{10} ]
Таким образом:
[ \cos \theta = \frac{45}{15\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} ]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{10}):
[ \cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10} ]
Итак, косинус угла между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равен (\frac{3\sqrt{10}}{10}).
Для вычисления косинуса угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой скалярного произведения векторов.
Косинус угла между векторами a и b можно найти по формуле: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|),
где a * b - скалярное произведение векторов a и b, |a| - длина вектора a, |b| - длина вектора b.
Длины векторов a и b можно найти по формуле: |a| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2), |b| = sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2),
где a1, a2, a3 - координаты вектора a, b1, b2, b3 - координаты вектора b.
Подставив значения координат векторов a и b, а также найдя их длины, можно вычислить косинус угла между этими векторами.
