Для функции f(x)=2 x в квадрате + x найдите первообразную, график функции которой проходит через точку...

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2x^2 + x ), мы сначала найдем неопределенный интеграл этой функции. Это даст нам общий вид первообразной. Функция ( F(x) ), являющаяся первообразной для ( f(x) ), вычисляется следующим образом:

[ F(x) = \int (2x^2 + x) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int x \, dx. ]

Находим интегралы по отдельности:

1. (\int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3) (используя формулу (\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}) при ( n \neq -1 )).
2. (\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2).

Таким образом, получаем:

[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C, ]

где ( C ) — константа интегрирования.

Далее нам нужно найти такое значение ( C ), при котором график функции ( F(x) ) проходит через заданную точку ( A(1, 1) ). Подставляем координаты точки ( A ) в функцию ( F(x) ):

[ F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 + C = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C. ]

Чтобы это было равно 1 (так как ( F(1) = 1 ) по условию), решаем уравнение:

[ \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C = 1. ]

Приводим дроби к общему знаменателю:

[ \frac{4}{6} + \frac{3}{6} + C = 1, ] [ \frac{7}{6} + C = 1. ]

Отсюда находим ( C ):

[ C = 1 - \frac{7}{6} = \frac{6}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{1}{6}. ]

Итак, первообразная функция, график которой проходит через точку ( A(1, 1) ), имеет вид:

[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}. ]

Для нахождения первообразной функции f(x)=2x^2+x, проходящей через точку A(1;1), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Сначала найдем первообразную для функции f(x). Для этого возьмем интеграл от f(x) по переменной x:

∫(2x^2 + x) dx = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной С, воспользуемся условием прохождения графика функции через точку A(1;1). Подставим x=1 и y=1 в уравнение первообразной:

(2/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 + C = 1.

Отсюда получаем:

2/3 + 1/2 + C = 1, C = 1 - 2/3 - 1/2 = 6/6 - 4/6 - 3/6 = -1/6.

Таким образом, первообразная функции f(x)=2x^2+x, проходящая через точку A(1;1), будет:

F(x) = (2/3)x^3 + (1/2)x^2 - 1/6.

Это и есть искомая функция.