Добрый день, помогите пожалуйста с примером \[(1- log_{4}36)(1-log_{2}36) \]

Добрый день! Давайте разберём данный пример подробно. Нам нужно упростить выражение:

[ (1 - \log{4}{36})(1 - \log{2}{36}). ]

Шаг 1: Преобразование логарифмов

Мы знаем, что (\log_{b}{a}) можно преобразовать через логарифмы с другим основанием, используя формулу:

[ \log{b}{a} = \frac{\log{k}{a}}{\log_{k}{b}}. ]

Применим эту формулу к нашим логарифмам.

1. (\log{4}{36}) можно записать как (\frac{\log{2}{36}}{\log{2}{4}}). Поскольку (\log{2}{4} = 2), то:

   [ \log{4}{36} = \frac{\log{2}{36}}{2}. ]

2. Теперь имеем:

   [ 1 - \log{4}{36} = 1 - \frac{\log{2}{36}}{2}. ]

3. (\log_{2}{36}) остаётся без изменений в другом выражении:

   [ 1 - \log_{2}{36}. ]

Шаг 2: Подстановка и упрощение выражения

Подставим преобразованные логарифмы в исходное выражение:

[ \left(1 - \frac{\log{2}{36}}{2}\right)(1 - \log{2}{36}). ]

Обозначим (\log_{2}{36} = x) для удобства. Тогда выражение становится:

[ \left(1 - \frac{x}{2}\right)(1 - x). ]

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

[ (1 - \frac{x}{2})(1 - x) = 1 \cdot (1 - x) - \frac{x}{2} \cdot (1 - x). ]

1. (1 \cdot (1 - x) = 1 - x),

2. (-\frac{x}{2} \cdot (1 - x) = -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}).

Теперь сложим обе части:

[ 1 - x - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}. ]

Шаг 4: Приведение подобных членов

Приведём подобные члены:

[ 1 - \frac{3x}{2} + \frac{x^2}{2}. ]

Это и есть упрощённая форма данного выражения.

Ответ

Таким образом, упрощённое выражение:

[ 1 - \frac{3x}{2} + \frac{x^2}{2}, ]

где (x = \log_{2}{36}).

Для начала раскроем логарифмы: [1 - \log{4}36 = 1 - \frac{\log{2}36}{\log{2}4} = 1 - \frac{\log{2}36}{2} = \frac{2 - \log{2}36}{2}] [1 - \log{2}36 = 1 - \frac{\log{2}36}{\log{2}2} = 1 - \log_{2}36 = 1 - 2 = -1]

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение: [(1- \log{4}36)(1-\log{2}36) = \left(\frac{2 - \log{2}36}{2}\right)(-1) = -\frac{2 - \log{2}36}{2} = -\frac{2 - \frac{\log{2}36}{\log{2}2}}{2} = -\frac{2 - 2}{2} = 0]

Таким образом, результат выражения [(1- \log{4}36)(1-\log{2}36)] равен 0.