Доказать, что функция y = f(x) является периодической с периодом Т, если : y=sin2x, T=пи

Для доказательства того, что функция y = sin^2(x) является периодической с периодом T = π, мы должны показать, что f(x + T) = f(x) для всех x.

Дано, что y = sin^2(x). Посмотрим на функцию f(x + π):

f(x + π) = sin^2(x + π)

     = sin^2(x) * cos^2(π) + cos^2(x) * sin^2(π)  (так как sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))
     = sin^2(x) * 0 + cos^2(x) * 1              (так как sin(π) = 0 и cos(π) = -1)
     = cos^2(x).

Таким образом, мы видим, что f(x + π) = cos^2(x) ≠ sin^2(x) = f(x). Поскольку f(x + π) не равно f(x), функция y = sin^2(x) не является периодической с периодом T = π.

Итак, функция y = sin^2(x) не является периодической с периодом T = π.

Чтобы доказать, что функция ( y = \sin(2x) ) является периодической с периодом ( T = \pi ), нужно показать, что выполняется следующее условие для всех ( x ) в области определения функции:

[ f(x + T) = f(x). ]

Для функции ( y = \sin(2x) ), это означает:

[ \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x). ]

Рассмотрим левую часть уравнения:

[ \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi). ]

Из тригонометрических свойств синуса известно, что синус имеет период ( 2\pi ). Это значит, что:

[ \sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta) ]

для любого угла ( \theta ). Применяя это свойство, получаем:

[ \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x). ]

Таким образом, мы видим, что:

[ \sin(2(x + \pi)) = \sin(2x), ]

что и требовалось доказать. Следовательно, функция ( y = \sin(2x) ) действительно является периодической с периодом ( T = \pi ).

Функция y = sin(2x) является периодической с периодом π.