Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n

Для доказательства того, что выражение n^3 + 3n^2 + 5n + 3 делится на 3 при любом натуральном n, можно воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции: При n=1 выражение равно 1^3 + 31^2 + 51 + 3 = 1 + 3 + 5 + 3 = 12, что делится на 3 без остатка.

2. Предположение индукции: Пусть выражение n^3 + 3n^2 + 5n + 3 делится на 3 при n=k, где k - произвольное натуральное число.

3. Шаг индукции: Докажем, что при n=k+1 также будет выполняться условие деления на 3. Выражение для n=k+1 будет равно (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 5(k+1) + 3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5 + 3 = k^3 + 6k^2 + 14k + 12. По предположению индукции, k^3 + 3k^2 + 5k + 3 делится на 3, следовательно, k^3 + 6k^2 + 14k + 12 также будет делиться на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 + 3n^2 + 5n + 3 будет делиться на 3 при любом натуральном n.

Чтобы доказать, что выражение ( n^3 + 3n^2 + 5n + 3 ) делится на 3 для любого натурального ( n ), мы можем воспользоваться методом проверки остатков при делении на 3, известным как модульная арифметика.

Рассмотрим остатки возможных значений ( n ) при делении на 3. Существует три возможных случая для натурального ( n ): ( n \equiv 0 \pmod{3} ), ( n \equiv 1 \pmod{3} ), и ( n \equiv 2 \pmod{3} ).

Случай 1: ( n \equiv 0 \pmod{3} )

Если ( n \equiv 0 \pmod{3} ), то: [ n^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{3} ] [ 3n^2 \equiv 3 \cdot 0^2 \equiv 0 \pmod{3} ] [ 5n \equiv 5 \cdot 0 \equiv 0 \pmod{3} ] [ n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \equiv 0 + 0 + 0 + 3 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} ]

Случай 2: ( n \equiv 1 \pmod{3} )

Если ( n \equiv 1 \pmod{3} ), то: [ n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{3} ] [ 3n^2 \equiv 3 \cdot 1^2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3} ] [ 5n \equiv 5 \cdot 1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3} ] [ n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \equiv 1 + 0 + 2 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3} ]

Случай 3: ( n \equiv 2 \pmod{3} )

Если ( n \equiv 2 \pmod{3} ), то: [ n^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3} ] [ 3n^2 \equiv 3 \cdot 2^2 \equiv 12 \equiv 0 \pmod{3} ] [ 5n \equiv 5 \cdot 2 \equiv 10 \equiv 1 \pmod{3} ] [ n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \equiv 2 + 0 + 1 + 3 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3} ]

Во всех трёх случаях выражение ( n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \equiv 0 \pmod{3} ). Это подтверждает, что ( n^3 + 3n^2 + 5n + 3 ) делится на 3 для любого натурального ( n ).

Для доказательства того, что n^3 + 3n^2 + 5n + 3 делится на 3 при любом натуральном n, можно воспользоваться методом математической индукции. В базе индукции (n = 1) утверждение верно, так как 1^3 + 31^2 + 51 + 3 = 12, что делится на 3. Предположим, что утверждение верно для n = k, т.е. k^3 + 3k^2 + 5k + 3 делится на 3. Докажем, что утверждение верно и для n = k+1. Рассмотрим выражение (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 5(k+1) + 3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5 + 3 = (k^3 + 3k^2 + 5k + 3) + 3k + 9, где первое слагаемое делится на 3 по предположению индукции, а второе является кратным 3. Следовательно, исходное выражение делится на 3 при любом натуральном n.