Доказать тождество: (sin(a+b)+sin(a-b))/(sin(a+b)-sin(a-b))=tg(a)*ctg(b)

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами сложения и вычитания для синуса: sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Подставим эти формулы в исходное выражение: (sin(a+b) + sin(a-b)) / (sin(a+b) - sin(a-b)) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)) / (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) - sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) = 2sin(a)cos(b) / 2cos(a)sin(b) = tg(a)ctg(b)

Таким образом, доказано исходное тождество.

Чтобы доказать данное тождество, начнем с левой части выражения:

[ \frac{\sin(a+b) + \sin(a-b)}{\sin(a+b) - \sin(a-b)} ]

Для упрощения нужно использовать формулы суммы и разности синусов:

[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b ] [ \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ]

Подставим эти формулы в выражение:

Числитель: [ \sin(a+b) + \sin(a-b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) + (\sin a \cos b - \cos a \sin b) ] [ = 2 \sin a \cos b ]

Знаменатель: [ \sin(a+b) - \sin(a-b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) - (\sin a \cos b - \cos a \sin b) ] [ = 2 \cos a \sin b ]

Итак, наша дробь упрощается до:

[ \frac{2 \sin a \cos b}{2 \cos a \sin b} = \frac{\sin a \cos b}{\cos a \sin b} ]

Эта дробь может быть разложена на произведение:

[ \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos b}{\sin b} = \tan a \cdot \cot b ]

Таким образом, левая часть тождества действительно равна правой части:

[ \tan a \cdot \cot b ]

Тождество доказано.