Докажите что (а+1)³-(а+1)=а(а+1)(а+2)

Для доказательства равенства ((a+1)^3 - (a+1) = a(a+1)(a+2)) раскроем левую часть:

[ (a+1)^3 = (a+1)(a+1)(a+1) = (a^2 + 2a + 1)(a + 1) = a^3 + 3a^2 + 3a + 1. ]

Теперь вычтем ((a+1)):

[ (a+1)^3 - (a+1) = (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - (a + 1) = a^3 + 3a^2 + 2a. ]

Теперь раскроем правую часть:

[ a(a+1)(a+2) = a[(a^2 + 3a + 2)] = a^3 + 3a^2 + 2a. ]

Теперь мы видим, что обе стороны равенства равны:

[ a^3 + 3a^2 + 2a = a^3 + 3a^2 + 2a. ]

Следовательно, равенство доказано.

Давайте докажем данное равенство:

[ (а+1)^3 - (а+1) = а(а+1)(а+2) ]

Шаг 1: Раскроем левую часть

Левая часть выражения — это ((а+1)^3 - (а+1)). Сначала раскроем кубическое выражение ((а+1)^3):

[ (а+1)^3 = (а+1)(а+1)(а+1) ]

Раскроем скобки поэтапно: [ (а+1)(а+1) = а^2 + 2а + 1 ] Теперь умножим результат на ((а+1)): [ (а^2 + 2а + 1)(а+1) = а^3 + а^2 + 2а^2 + 2а + а + 1 ] Соберем подобные члены: [ а^3 + 3а^2 + 3а + 1 ]

Таким образом: [ (а+1)^3 = а^3 + 3а^2 + 3а + 1 ]

Теперь вычтем ((а+1)) из результата: [ (а+1)^3 - (а+1) = (а^3 + 3а^2 + 3а + 1) - (а + 1) ] [ = а^3 + 3а^2 + 3а + 1 - а - 1 ] [ = а^3 + 3а^2 + 2а ]

Левая часть упрощается до: [ а^3 + 3а^2 + 2а ]

Шаг 2: Раскроем правую часть

Теперь рассмотрим правую часть выражения: (а(а+1)(а+2)). Раскроем скобки:

Сначала умножим ((а+1)) и ((а+2)): [ (а+1)(а+2) = а^2 + 2а + а + 2 = а^2 + 3а + 2 ]

Теперь умножим результат на (а): [ а(а^2 + 3а + 2) = а^3 + 3а^2 + 2а ]

Таким образом, правая часть равна: [ а^3 + 3а^2 + 2а ]

Шаг 3: Сравним левую и правую части

Левая часть: [ а^3 + 3а^2 + 2а ] Правая часть: [ а^3 + 3а^2 + 2а ]

Так как левая часть равна правой части, равенство доказано.

Итог

Мы доказали, что: [ (а+1)^3 - (а+1) = а(а+1)(а+2) ]

Чтобы доказать равенство ((a+1)^3 - (a+1) = a(a+1)(a+2)), начнем с левой части и упростим её.

1. Упрощение левой части:

   [ (a+1)^3 - (a+1) ]

   Сначала найдем значение ((a+1)^3):

   [ (a+1)^3 = (a+1)(a+1)(a+1) ]

   Раскроем скобки:

   [ = (a+1)(a^2 + 2a + 1) = a^3 + 2a^2 + a + a^2 + 2a + 1 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 ]

   Теперь вычтем ((a+1)):

   [ a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - (a + 1) = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a - 1 ]

   Упрощаем:

   [ = a^3 + 3a^2 + 2a ]

2. Теперь упростим правую часть:

   [ a(a+1)(a+2) ]

   Раскроем скобки:

   [ = a[(a+1)(a+2)] = a[a^2 + 3a + 2] = a^3 + 3a^2 + 2a ]

3. Сравнение обеих частей:

Теперь сравним полученные значения левой и правой частей:

• Левая часть: (a^3 + 3a^2 + 2a)
• Правая часть: (a^3 + 3a^2 + 2a)

Обе части равны, что подтверждает равенство:

[ (a+1)^3 - (a+1) = a(a+1)(a+2) ]

Таким образом, мы доказали, что данное равенство верно.