Докажите, что число 1/√5-1 - 1/√5+1 является рациональным.

Для доказательства того, что число ( \frac{1}{\sqrt{5}-1} - \frac{1}{\sqrt{5}+1} ) является рациональным, преобразуем его выражение. После упрощения получим:

( \frac{1}{\sqrt{5}-1} - \frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ).

Таким образом, число ( \frac{1}{\sqrt{5}-1} - \frac{1}{\sqrt{5}+1} ) равно 1/2, что является рациональным числом.

Для доказательства того, что число 1/√5-1 - 1/√5+1 является рациональным, сначала преобразуем его:

1/√5-1 - 1/√5+1 = (1/√5 - 1/√5) - (1 + 1/√5) = 0 - (1 + 1/√5) = -1 - 1/√5

Теперь заметим, что это число можно представить в виде рациональной дроби, а именно:

-1 - 1/√5 = -1 - 1/(√5) * (√5/√5) = -1 - √5/5 = (-5 - √5) / 5

Итак, мы получили представление числа -1 - 1/√5 в виде рациональной дроби (-5 - √5) / 5, что означает, что данное число является рациональным.

Чтобы доказать, что выражение (\frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}) является рациональным числом, необходимо выполнить несколько шагов с алгебраическими преобразованиями и упрощениями.

Начнем с преобразования данного выражения:

[ \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1} ]

Для удобства работы с выражением приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (\sqrt{5} - 1) и (\sqrt{5} + 1) равен ((\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)).

Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

[ \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} ]

[ \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} ]

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

[ \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} - \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} ]

Упростим числитель:

[ (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 = 2 ]

Знаменатель можно упростить, используя формулу разности квадратов:

[ (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 ]

Таким образом, выражение упрощается до:

[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

Число (\frac{1}{2}) является рациональным. Следовательно, выражение (\frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}) действительно является рациональным числом.