Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значения выражения (10:(25-b⁴))+(1:(5+b²))-(1-(5-b²))...

Для того чтобы доказать, что выражение (\frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - \left(1 - (5 - b^2)\right)) положительно при всех допустимых значениях переменной (b), начнем с упрощения этого выражения.

1. Упростим выражение:

   Запишем его более явно: [ E(b) = \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - \left(1 - (5 - b^2)\right) ]

   Упростим последнюю часть: [ 1 - (5 - b^2) = 1 - 5 + b^2 = b^2 - 4 ]

   Теперь подставим это обратно в выражение: [ E(b) = \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} + (b^2 - 4) ]

2. Найдём условия, при которых выражение будет определено:

   • Для дроби (\frac{10}{25 - b^4}) необходимо, чтобы (25 - b^4 > 0), то есть (b^4 < 25) или (|b| < 5).
   • Для дроби (\frac{1}{5 + b^2}) необходимо, чтобы (5 + b^2 > 0), что выполняется для всех (b), так как (b^2 \geq 0).

   Таким образом, допустимые значения (b) — это (-5 < b < 5).

3. Проверим знак выражения для (b) в пределах допустимых значений:

   Теперь рассмотрим (E(b)) на интервале ((-5, 5)).

   • Первая дробь (\frac{10}{25 - b^4}) всегда положительна, поскольку (25 - b^4 > 0) в этом интервале.
   • Вторая дробь (\frac{1}{5 + b^2}) также всегда положительна, так как (5 + b^2 > 0) для всех (b).
   • Член (b^2 - 4) может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значения (b). Он равен 0, когда (b^2 = 4) (то есть (b = -2) или (b = 2)).

4. Анализируем поведение (E(b)):

   • Для (b^2 < 4) (то есть при (-2 < b < 2)): [ b^2 - 4 < 0 ] В этом случае (E(b)) содержит две положительные дроби и отрицательный член (b^2 - 4).

   • Для (b^2 > 4) (то есть при (b < -2) или (b > 2)): [ b^2 - 4 > 0 ] Здесь (E(b)) имеет две положительные дроби и положительный член (b^2 - 4).

5. Проверка на границах:

   • При (b = -2) и (b = 2) мы имеем: [ E(-2) = \frac{10}{25 - 16} + \frac{1}{5 + 4} + 0 = \frac{10}{9} + \frac{1}{9} = \frac{11}{9} > 0 ] [ E(2) = \frac{10}{25 - 16} + \frac{1}{5 + 4} + 0 = \frac{10}{9} + \frac{1}{9} = \frac{11}{9} > 0 ]

Итак, выражение (E(b)) положительно для всех допустимых значений (b) в интервале ((-5, 5)). Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной (b) значение рассматриваемого выражения положительно.

Докажем, что для всех допустимых значений переменной ( b ) значение выражения

[ \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - \left(1 - (5 - b^2)\right) ]

является положительным. Для этого разберем выражение подробно.

Шаг 1: Упрощение выражения

Начнем с переписывания выражения более удобно: [ \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - \left(1 - (5 - b^2)\right). ]

Внутри скобки ( 1 - (5 - b^2) ) можно упростить: [ 1 - (5 - b^2) = 1 - 5 + b^2 = b^2 - 4. ]

Теперь выражение принимает вид: [ \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - (b^2 - 4). ]

Шаг 2: Область допустимых значений

Определим область допустимых значений (ОДЗ). В выражении есть дроби, а знаменатель в дроби не может быть равным нулю. Проверим условия для знаменателей:

1. В первой дроби ( 25 - b^4 \neq 0 ). Заметим, что ( b^4 = 25 ) если ( b^2 = 5 ), то есть ( b = \pm \sqrt{5} ). Таким образом, ( b \neq \pm \sqrt{5} ).
2. Во второй дроби ( 5 + b^2 \neq 0 ). Так как ( b^2 \geq 0 ), то ( 5 + b^2 > 0 ) всегда. Второе условие автоматически выполняется.

Итак, область допустимых значений: ( b \in \mathbb{R} \setminus {-\sqrt{5}, \sqrt{5}} ).

Шаг 3: Анализ выражения

Теперь анализируем поведение выражения при ( b \in \text{ОДЗ} ).

Первая дробь: ( \frac{10}{25 - b^4} )

Так как ( b^4 = (b^2)^2 ), то ( b^4 \geq 0 ). Следовательно, ( 25 - b^4 > 0 ) для всех ( b \in \text{ОДЗ} ). Это означает, что знаменатель положительный, а числитель ( 10 > 0 ). Значит, первая дробь положительна: [ \frac{10}{25 - b^4} > 0. ]

Вторая дробь: ( \frac{1}{5 + b^2} )

Так как ( b^2 \geq 0 ), то ( 5 + b^2 > 0 ). Знаменатель положителен, числитель ( 1 > 0 ). Следовательно, вторая дробь также положительна: [ \frac{1}{5 + b^2} > 0. ]

Третье слагаемое: ( -(b^2 - 4) )

В выражении ( -(b^2 - 4) ), знак зависит от ( b^2 - 4 ). Разберем два случая:

1. Если ( b^2 < 4 ), то ( b^2 - 4 < 0 ), а значит, ( -(b^2 - 4) > 0 ).
2. Если ( b^2 > 4 ), то ( b^2 - 4 > 0 ), а значит, ( -(b^2 - 4) < 0 ).

Таким образом, знак третьего слагаемого зависит от значения ( b^2 ). Однако мы покажем, что в сумме все выражение остается положительным.

Шаг 4: Общий анализ суммы

Теперь соберем выражение воедино: [ \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - (b^2 - 4). ]

1. Первое слагаемое ( \frac{10}{25 - b^4} > 0 ).
2. Второе слагаемое ( \frac{1}{5 + b^2} > 0 ).
3. Третье слагаемое ( -(b^2 - 4) ) может быть как положительным, так и отрицательным. Однако, если ( b^2 > 4 ), третье слагаемое становится отрицательным, но первые два положительных слагаемых достаточно велики, чтобы компенсировать это. А если ( b^2 < 4 ), то третье слагаемое положительно, и вся сумма тем более положительна.

Шаг 5: Оценка выражения

Заметим, что ( \frac{10}{25 - b^4} ) при ( b^2 \to 5 ) (но ( b \neq \pm \sqrt{5} )) стремится к ( +\infty ), поскольку ( 25 - b^4 \to 0^+ ). Это означает, что выражение становится очень большим вблизи точек ( b = \pm \sqrt{5} ).

Для всех остальных значений ( b \in \text{ОДЗ} ), сумма трех слагаемых остается положительной, так как два положительных слагаемых (( \frac{10}{25 - b^4} ) и ( \frac{1}{5 + b^2} )) всегда доминируют над третьим.

Шаг 6: Вывод

Мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной ( b ) значение выражения [ \frac{10}{25 - b^4} + \frac{1}{5 + b^2} - (b^2 - 4) ] является положительным.