Докажите, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 есть число рациональное

Для доказательства, что значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 является рациональным числом, можно воспользоваться формулой сокращенного умножения для разности квадратов. После преобразований можно увидеть, что итоговое значение будет рациональным числом.

Для решения данной задачи начнем с исходного выражения:

[ \frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} ]

Чтобы упростить это выражение, применим метод общего знаменателя. Найдем общий знаменатель для двух дробей:

[ (2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1) ]

Применяя формулу сокращенного умножения ((a+b)(a-b) = a^2 - b^2), получаем:

[ (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11 ]

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:

[ \frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+1)}{11} ]

Раскрываем скобки в числителе:

[ 2\sqrt{3} - 1 - 2\sqrt{3} - 1 = -2 ]

Тогда у нас остается:

[ \frac{-2}{11} ]

Таким образом, значение исходного выражения равно (-\frac{2}{11}), что является рациональным числом, поскольку рациональное число определяется как отношение двух целых чисел (в данном случае -2 и 11), где знаменатель не равен нулю.

Таким образом, доказано, что значение выражения рационально.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения является числом рациональным, мы можем воспользоваться формулой суммы квадратных корней.

Пусть a = 1/2√3+1 и b = 1/2√3-1. Тогда значение выражения a - b можно представить в виде (a + b)(a - b), что равно a^2 - b^2.

Вычислим a^2 и b^2:

a^2 = (1/2√3+1)^2 = 1/43 + 1 + 1/√3 = 1/43 + 1 + 1/√3 = 3/4 + 1 + 1/√3 b^2 = (1/2√3-1)^2 = 1/4*3 + 1 - 1/√3 = 3/4 + 1 - 1/√3

Теперь найдем разность a^2 и b^2:

a^2 - b^2 = (3/4 + 1 + 1/√3) - (3/4 + 1 - 1/√3) = 1/√3 + 1/√3 = 2/√3

Таким образом, значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 равно 2/√3. Теперь, чтобы доказать, что это число рациональное, нужно выразить его в виде дроби.

Для этого умножим числитель и знаменатель на √3:

2/√3 = 2√3/3

Таким образом, значение выражения 1/2√3+1 - 1/2√3-1 равно числу 2√3/3, которое является числом рациональным.