Докажите справедливость неравенства: x^4 - 3x^2 - 2x + 6 >0

Для доказательства неравенства (x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0) рассмотрим функцию (f(x) = x^4 - 3x^2 - 2x + 6).

1. Анализ на экстремумы

Для нахождения критических точек, найдем первую производную функции (f(x)): [ f'(x) = 4x^3 - 6x - 2. ]

2. Решение уравнения первой производной

Найдем корни уравнения ( f'(x) = 0 ): [ 4x^3 - 6x - 2 = 0. ]

На первый взгляд, это кубическое уравнение не решается аналитически просто, поэтому проверим его корни численно или методом подбора.

3. Исследование знака второй производной

Вторая производная функции (f(x)) равна: [ f''(x) = 12x^2 - 6. ]

Проанализируем знак второй производной для различных значений (x):

• Если (x^2 > \frac{1}{2}), то (f''(x) > 0) (функция возрастает в этом интервале).
• Если (x^2 < \frac{1}{2}), то (f''(x) < 0) (функция убывает в этом интервале).

4. Исследование критических точек

Рассмотрим поведение функции на критических точках, которые могут быть найдены численно. Предположим, что есть корень (x_0) уравнения (4x^3 - 6x - 2 = 0), и проверим значения функции (f(x)) в окрестности этих точек.

5. Проверка граничных значений

Проверим значение функции на границах:

• При ( x \to +\infty ), ( f(x) \to +\infty )
• При ( x \to -\infty ), ( f(x) \to +\infty )

6. Проверка функции на конкретных значениях

Проверим функцию для простых значений (x):

• (f(0) = 0^4 - 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 6 = 6 > 0)
• (f(1) = 1^4 - 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 1 - 3 - 2 + 6 = 2 > 0)
• (f(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^2 - 2(-1) + 6 = 1 - 3 + 2 + 6 = 6 > 0)

7. Обобщение

Из анализа функции на критических точках и на границах видно, что функция (f(x) = x^4 - 3x^2 - 2x + 6) не принимает отрицательных значений на всей числовой оси. Поэтому можно утверждать, что:

[ x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0 \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R}. ]

Таким образом, неравенство (x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0) действительно справедливо для всех действительных чисел (x).

Для доказательства справедливости данного неравенства, нужно рассмотреть его в качестве квадратного трехчлена по переменной x. После этого проведем исследование знаков данного квадратного трехчлена.

Положим f(x) = x^4 - 3x^2 - 2x + 6. Найдем производную этой функции: f'(x) = 4x^3 - 6x - 2.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 4x^3 - 6x - 2 = 0.

Данное уравнение имеет один корень x = 1. Подставим этот корень обратно в функцию f(x): f(1) = 1^4 - 31^2 - 21 + 6 = 2 > 0.

Таким образом, при x = 1 функция принимает положительное значение. Теперь рассмотрим знаки функции f(x) на интервалах (-бесконечность; 1) и (1; +бесконечность). Для этого можно воспользоваться знаками производной f'(x) на этих интервалах.

Проведем знаковую таблицу производной f'(x):

x | -беск | 1 | +беск

f'(x) | - | 0 | +

Из этой таблицы видно, что производная функции меняет знак с "минус" на "плюс" при x = 1. Следовательно, функция f(x) возрастает до x = 1 и убывает после x = 1.

Таким образом, получаем, что f(x) > 0 на интервалах (-бесконечность; 1) и (1; +бесконечность). Следовательно, неравенство x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0 верно для всех действительных чисел x.

Это неравенство можно доказать, разложив его на множители: x^4 - 3x^2 - 2x + 6 = (x^2 - 2)(x^2 + 1) - 3(x^2 + 1) = (x^2 - 3)(x^2 + 1) > 0 Получим 2 интервала: x^2 - 3 > 0 и x^2 + 1 > 0 Решив неравенства, получаем решение: x < -√3, x > √3. Таким образом, неравенство x^4 - 3x^2 - 2x + 6 > 0 верно для x < -√3 и x > √3.