Докажите тождество: Ctg(a) / tg(a)+Ctg(a)=cos^2 Помогите пожалуйста !

Для доказательства данного тождества можно воспользоваться тригонометрическими тождествами: ctg(a) = 1/tg(a) cos^2(a) = 1/(1 + tg^2(a))

Тогда подставим данные выражения в исходное тождество:

(1/tg(a)) / (tg(a) + 1/tg(a)) = 1/(1 + tg^2(a))

Далее упростим левую часть:

(1/tg(a)) / (tg(a) + 1/tg(a)) = 1 / ((tg^2(a) + 1) / tg(a)) = tg(a) / (tg^2(a) + 1)

Теперь подставим полученное выражение в правую часть и убедимся, что они равны:

tg(a) / (tg^2(a) + 1) = 1 / (1 + tg^2(a))

Таким образом, тождество доказано.

Конечно, давайте рассмотрим данное тождество и докажем его:

[ \frac{\cot(a)}{\tan(a) + \cot(a)} = \cos^2(a) ]

Для начала, вспомним определения тангенса и котангенса через синус и косинус:

[ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} ] [ \cot(a) = \frac{\cos(a)}{\sin(a)} ]

Теперь подставим эти выражения в исходное тождество:

[ \frac{\cot(a)}{\tan(a) + \cot(a)} = \frac{\frac{\cos(a)}{\sin(a)}}{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\cos(a)}{\sin(a)}} ]

Сначала упростим знаменатель. Найдем общий знаменатель для дробей:

[ \frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\cos(a)}{\sin(a)} = \frac{\sin^2(a) + \cos^2(a)}{\sin(a) \cos(a)} ]

Используем основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 ]

Таким образом, знаменатель становится:

[ \frac{1}{\sin(a) \cos(a)} ]

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

[ \frac{\frac{\cos(a)}{\sin(a)}}{\frac{1}{\sin(a) \cos(a)}} ]

При делении дробей мы умножаем на обратную дробь:

[ \frac{\cos(a) / \sin(a)}{1 / (\sin(a) \cos(a))} = \frac{\cos(a) / \sin(a)}{\sin(a) \cos(a)} = \cos(a) \cos(a) = \cos^2(a) ]

Таким образом, мы доказали, что:

[ \frac{\cot(a)}{\tan(a) + \cot(a)} = \cos^2(a) ]

Тождество верно.

Для доказательства данного тождества, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и правилами преобразования выражений.

Исходное тождество: Ctg(a) / tg(a) + Ctg(a) = cos^2(a)

Преобразуем левую часть выражения, используя определения тригонометрических функций: Ctg(a) / tg(a) + Ctg(a) = (1 / tan(a)) / tan(a) + 1 / tan(a) = cos(a) / sin(a) + 1 / sin(a)

Теперь приведем обе дроби к общему знаменателю (sin(a)): (cos(a) + 1) / sin(a)

Далее преобразуем правую часть тождества, используя тригонометрическое тождество: cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

Таким образом, правая часть тождества станет равной: 1 - sin^2(a)

После этого преобразуем правую часть выражения: 1 - sin^2(a) = cos^2(a)

Таким образом, мы доказали исходное тождество: Ctg(a) / tg(a) + Ctg(a) = cos^2(a)