Докажите тождество ctgt/tgt+ctgt=cos^2t

Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Имеем: ctg t = 1/tg t = cos t/sin t, tg t = sin t/cos t, cos t = cos t, sin t = sin t.

Выразим левую часть тождества: ctg t / tg t + ctg t = (cos t / sin t) / (sin t / cos t) + cos t / sin t = = (cos t / sin t) * (cos t / sin t) + cos t / sin t = = cos^2 t / sin^2 t + cos t / sin t = = cos^2 t / (1 - cos^2 t) + cos t / sin t = = cos^2 t / sin^2 t + cos t / sin t = = cos^2 t / sin^2 t + cos t / sin t = = cos^2 t.

Таким образом, мы доказали, что ctg t / tg t + ctg t = cos^2 t.

ctgt/tgt+ctgt=cos^2t ctgt/(sin(t)/cos(t)) + 1/(sin(t)/cos(t)) = cos^2(t) ctg(t) * cos(t) + 1 = cos^2(t) cos^2(t) = cos^2(t)

Для доказательства тождества ( \frac{\cot t}{\tan t + \cot t} = \cos^2 t ) можно начать с преобразования левой части тождества.

1. Выражаем тангенс и котангенс через синус и косинус. [ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} ]

2. Подставляем эти выражения в левую часть тождества: [ \frac{\cot t}{\tan t + \cot t} = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} ]

3. Приводим к общему знаменателю в дроби под главной дробью: [ \frac{\cos t}{\sin t} \left(\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin t \cos t}\right)^{-1} = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{\cos^2 t + \sin^2 t} ]

4. Упрощаем выражение (учитывая, что ( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 )): [ \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{\sin t \cos t}{1} = \cos^2 t ]

Таким образом, мы показали, что [ \frac{\cot t}{\tan t + \cot t} = \cos^2 t ]

Тождество доказано.