Докажите,что функция F(x) четная, если: а)f(x) = 7cos4x + 3x^2 б)f(x)= (x^2-x/x+2) - (x^2+x/x-2)

Для доказательства четности функции ( f(x) ), нужно показать, что ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения функции.

a) ( f(x) = 7\cos(4x) + 3x^2 )

1. Проверим функцию на четность: [ f(-x) = 7\cos(4(-x)) + 3(-x)^2 ]
2. Упростим выражение: [ \cos(4(-x)) = \cos(-4x) = \cos(4x) \quad \text{(так как косинус четная функция)} ] [ (-x)^2 = x^2 \quad \text{(поскольку квадрат любого числа положителен)} ]
3. Подставим в выражение для ( f(-x) ): [ f(-x) = 7\cos(4x) + 3x^2 ]
4. Видим, что ( f(-x) = f(x) ): [ f(-x) = 7\cos(4x) + 3x^2 = f(x) ]

Следовательно, функция ( f(x) = 7\cos(4x) + 3x^2 ) является четной.

б) ( f(x) = \left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) - \left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) )

1. Проверим функцию на четность: [ f(-x) = \left( \frac{(-x)^2 - (-x)}{-x + 2} \right) - \left( \frac{(-x)^2 + (-x)}{-x - 2} \right) ]
2. Упростим выражение: [ (-x)^2 = x^2 ] [ -(-x) = x ] [ f(-x) = \left( \frac{x^2 + x}{-x + 2} \right) - \left( \frac{x^2 - x}{-x - 2} \right) ]
3. Приведем выражения к более удобному виду: [ \left( \frac{x^2 + x}{-x + 2} \right) = \left( \frac{x^2 + x}{-(x - 2)} \right) = -\left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) ] [ \left( \frac{x^2 - x}{-x - 2} \right) = \left( \frac{x^2 - x}{-(x + 2)} \right) = -\left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) ]
4. Подставим в выражение для ( f(-x) ): [ f(-x) = -\left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) - \left( -\frac{x^2 - x}{x + 2} \right) ] [ f(-x) = -\left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) + \left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) ]
5. Видим, что ( f(-x) = f(x) ): [ f(-x) = \left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) - \left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) = f(x) ]

Следовательно, функция ( f(x) = \left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) - \left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) ) также является четной.

Таким образом, обе функции ( f(x) = 7\cos(4x) + 3x^2 ) и ( f(x) = \left( \frac{x^2 - x}{x + 2} \right) - \left( \frac{x^2 + x}{x - 2} \right) ) являются четными.

а) Функция f(x) = 7cos(4x) + 3x^2 является четной, так как cos(4x) - четная функция, а x^2 - четная функция, следовательно, их сумма также будет четной функцией.

б) Функция f(x) = (x^2 - x)/(x + 2) - (x^2 + x)/(x - 2) является четной, так как числитель и знаменатель каждого слагаемого являются нечетными функциями, а разность нечетной и нечетной функций равна четной функции.

а) Чтобы доказать, что функция F(x) четная, необходимо показать, что она обладает свойством симметрии относительно оси ординат, то есть F(x) = F(-x) для всех x из области определения функции. Для начала заменим x на -x в выражении f(x) = 7cos(4x) + 3x^2: f(-x) = 7cos(4*(-x)) + 3(-x)^2 f(-x) = 7cos(-4x) + 3x^2 Так как косинус является функцией четной, то cos(-θ) = cos(θ) для любого угла θ, следовательно, cos(-4x) = cos(4x). Таким образом, f(-x) = 7cos(4x) + 3x^2 = f(x), что и означает, что функция F(x) четная.

б) Для доказательства четности функции F(x) в данном случае, нужно показать, что F(x) = F(-x) для всех x из области определения функции. Рассмотрим выражение f(x) = (x^2 - x)/(x + 2) - (x^2 + x)/(x - 2). Теперь заменим x на -x: f(-x) = (-x^2 + x)/(-x + 2) - (-x^2 - x)/(-x - 2) f(-x) = (-x^2 + x)/(-x + 2) + (x^2 + x)/(x + 2) Сокращаем общие множители в числителях и знаменателях: f(-x) = (-x + 1)/(2 - x) + (x + 1)/(x + 2) f(-x) = (x - 1)/(x - 2) + (x + 1)/(x + 2) Общим знаменателем будет (x - 2)(x + 2): f(-x) = (x - 1)(x + 2)/((x - 2)(x + 2)) + (x + 1)(x - 2)/((x - 2)(x + 2)) f(-x) = (x^2 + x - 2 - x^2 + x - 2)/((x - 2)(x + 2)) f(-x) = 2x - 4 + 2x - 4)/(x^2 - 4) f(-x) = 4x - 8)/(x^2 - 4) f(-x) = 4(x - 2)/(x - 2)(x + 2) Сокращаем общие множители: f(-x) = 4/(x + 2) Таким образом, f(-x) не равно f(x), следовательно, функция F(x) не является четной.