Докажите,что при любых значениях переменных многочлен х2-4х+у2+6у+13 принимает неотрицательные значения
Докажите,что при любых значениях переменных многочлен х2-4х+у2+6у+13 принимает неотрицательные значения
Для доказательства того, что многочлен (x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13) принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных (x) и (y), можно воспользоваться методом завершения квадрата.
Рассмотрим выражение (x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13) как сумму квадратов. Преобразуем его следующим образом:
((x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 4 + 9 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 13)
Таким образом, мы получили выражение в виде суммы квадратов, к которой прибавили константу 13. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, то выражение ((x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 13) принимает только неотрицательные значения при любых значениях переменных (x) и (y).
Следовательно, многочлен (x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13) также принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных (x) и (y).
Чтобы доказать, что многочлен (x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13) принимает неотрицательные значения для любых значений переменных (x) и (y), мы можем воспользоваться методом выделения полных квадратов.
Рассмотрим многочлен:
[x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13.]
Выделим полный квадрат по (x):
Многочлен по (x) имеет вид (x^2 - 4x). Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при (x):
[ x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4. ]
Выделим полный квадрат по (y):
Аналогично, многочлен по (y) имеет вид (y^2 + 6y). Выделим полный квадрат:
[ y^2 + 6y = (y^2 + 6y + 9) - 9 = (y + 3)^2 - 9. ]
Подставим выделенные полные квадраты в исходный многочлен:
[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 13. ]
Упрощаем:
[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 4 - 9 + 13 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2. ]
Анализ выражения:
Заметим, что ((x - 2)^2) и ((y + 3)^2) — это квадраты действительных чисел, которые всегда неотрицательны ((\geq 0)). Таким образом, их сумма ((x - 2)^2 + (y + 3)^2) также всегда неотрицательна.
Следовательно, многочлен (x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13) всегда принимает неотрицательные значения для любых значений (x) и (y). Это завершает доказательство.
