Докажите,что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 1/1-a^2 + 2/a^4-1 - 4/1+a^2...

Для доказательства того, что значение данного выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменной, мы можем воспользоваться методом анализа знаков.

Для начала разложим данное выражение на простейшие дроби:

1/(1-a^2) + 2/(a^4-1) - 4/(1+a^2)

Далее приведем дроби к общему знаменателю:

(1(a^4-1) + 2(1+a^2) - 4(1-a^2)) / ((1-a^2)(a^4-1)*(1+a^2))

После упрощения числителя получим:

(a^4 - 1 + 2 + 2a^2 - 4 - 4a^2) / ((1-a^2)(a^4-1)(1+a^2))

(a^4 - 4a^2 - 3) / ((1-a^2)(a^4-1)(1+a^2))

(a^2 - 3)(a^2 + 1) / ((1-a^2)*(a^2-1)(a^2+1))

Теперь проанализируем знаки числителя и знаменателя на интервалах:

1. a < -1: числитель > 0, знаменатель < 0, значит выражение < 0
2. -1 < a < 1: числитель < 0, знаменатель > 0, значит выражение < 0
3. a > 1: числитель > 0, знаменатель < 0, значит выражение < 0

Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения отрицательно.

Для доказательства, что значение выражения

[ \frac{1}{1-a^2} + \frac{2}{a^4-1} - \frac{4}{1+a^2} ]

отрицательно для всех допустимых значений переменной ( a ), давайте сначала упростим и проанализируем это выражение.

Шаг 1: Анализ области допустимых значений

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) выражения. ОДЗ определяется условиями, при которых знаменатели каждого из дробных выражений не равны нулю:

1. ( 1-a^2 \neq 0 \Rightarrow a^2 \neq 1 \Rightarrow a \neq 1 ) и ( a \neq -1 ).
2. ( a^4-1 \neq 0 \Rightarrow (a^2-1)(a^2+1) \neq 0 \Rightarrow a^2 \neq 1 \Rightarrow a \neq 1 ) и ( a \neq -1 ).
3. ( 1+a^2 \neq 0 ) всегда истинно для всех вещественных ( a ).

Таким образом, ( a \neq 1 ) и ( a \neq -1 ).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общим знаменателем для всех трех дробей будет произведение отдельных знаменателей: ((1-a^2)(a^4-1)(1+a^2)).

Сначала представим каждую дробь с общим знаменателем:

1. Для (\frac{1}{1-a^2}), общий знаменатель: ((a^4-1)(1+a^2)).
2. Для (\frac{2}{a^4-1}), общий знаменатель: ((1-a^2)(1+a^2)).
3. Для (-\frac{4}{1+a^2}), общий знаменатель: ((1-a^2)(a^4-1)).

Теперь выражение станет:

[ \frac{(a^4-1)(1+a^2) + 2(1-a^2)(1+a^2) - 4(1-a^2)(a^4-1)}{(1-a^2)(a^4-1)(1+a^2)} ]

Шаг 3: Упрощение числителя

Раскроем и упростим числитель:

1. ( (a^4-1)(1+a^2) = a^6 + a^4 - a^2 - 1 ).
2. ( 2(1-a^2)(1+a^2) = 2(1-a^4) = 2 - 2a^4 ).
3. ( -4(1-a^2)(a^4-1) = -4(a^4-a^6-1+a^2) = 4a^6 - 4a^4 + 4 - 4a^2 ).

Теперь сложим всё вместе:

[ a^6 + a^4 - a^2 - 1 + 2 - 2a^4 + 4a^6 - 4a^4 + 4 - 4a^2 ]

Сгруппируем и упростим:

[ (1a^6 + 4a^6) + (1a^4 - 2a^4 - 4a^4) + (-1a^2 - 4a^2) + (-1 + 2 + 4) ]

[ = 5a^6 - 5a^4 - 5a^2 + 5 ]

Факторизуем:

[ = 5(a^6 - a^4 - a^2 + 1) ]

Шаг 4: Анализ выражения

Для анализа знака выражения ( a^6 - a^4 - a^2 + 1 ), заметим, что:

• При ( |a| > 1 ), ( a^6 > a^4 ) и ( a^2 > 1 ), так что каждое слагаемое в выражении ( a^6 - a^4 - a^2 + 1 ) будет положительным.
• При ( |a| < 1 ), ( a^6 < a^4 ) и ( a^2 < 1 ), но ( 1 ) компенсирует уменьшение, так что ( a^6 - a^4 - a^2 + 1 ) также остаётся положительным.

Таким образом, ( 5(a^6 - a^4 - a^2 + 1) > 0 ) для всех допустимых значений ( a ).

Поскольку ( (1-a^2)(a^4-1)(1+a^2) ) всегда положителен для ( a \neq 1, -1 ), то полное выражение

[ \frac{5(a^6 - a^4 - a^2 + 1)}{(1-a^2)(a^4-1)(1+a^2)} ]

действительно отрицательно для всех ( a ), кроме ( a = 1 ) и ( a = -1 ), которые исключены из области допустимых значений.