Докажите,что выражение 4х²-4ху+2у² может принимать только неотрициательное зачение

Для того чтобы доказать, что выражение ( 4x^2 - 4xy + 2y^2 ) принимает только неотрицательные значения, рассмотрим его как квадратичную форму и преобразуем её.

Начнём с преобразования выражения: [ 4x^2 - 4xy + 2y^2 ]

Для этого представим его в виде суммы квадратов. Заметим, что выражение можно переписать следующим образом:

[ 4x^2 - 4xy + 2y^2 = 4(x^2 - xy) + 2y^2 ]

Теперь сосредоточимся на квадрате разности. Поскольку (x^2 - xy) можно дополнить до полного квадрата, рассмотрим следующее:

[ x^2 - xy = \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - \left( \frac{y}{2} \right)^2 ]

Тогда выражение примет вид:

[ 4 \left( \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - \left( \frac{y}{2} \right)^2 \right) + 2y^2 ]

Раскроем скобки:

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{y}{2} \right)^2 + 2y^2 ]

Теперь упростим:

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 - y^2 + 2y^2 ]

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 + y^2 ]

Мы видим, что выражение состоит из суммы квадратов:

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 + y^2 ]

Теперь давайте посмотрим на это выражение. Квадраты любых вещественных чисел всегда принимают неотрицательные значения. Следовательно:

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 \geq 0 ] [ y^2 \geq 0 ]

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:

[ 4 \left( x - \frac{y}{2} \right)^2 + y^2 \geq 0 ]

Таким образом, выражение ( 4x^2 - 4xy + 2y^2 ) всегда принимает неотрицательные значения.

Этот результат можно также проверить, используя методы линейной алгебры и матрицы квадратичных форм, но в данном случае наше преобразование полностью доказало, что выражение принимает только неотрицательные значения.

Данное выражение является квадратным трехчленом и может быть представлено в виде квадратного бинома: (2х-у)². Таким образом, выражение 4х²-4ху+2у² всегда будет больше или равно нулю, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Для того чтобы доказать, что выражение (4x^2 - 4xy + 2y^2) может принимать только неотрицательные значения, давайте рассмотрим его как квадратное выражение от переменных x и y.

Выражение (4x^2 - 4xy + 2y^2) можно представить в виде квадратного трехчлена вида ((2x - y)^2).

Теперь докажем, что квадрат любого числа является неотрицательным. Действительно, для любого действительного числа (a), (a^2 \geq 0), так как квадрат числа всегда неотрицательный.

Таким образом, выражение ((2x - y)^2 = 4x^2 - 4xy + y^2) также будет неотрицательным для всех действительных значений x и y.

Следовательно, выражение (4x^2 - 4xy + 2y^2) может принимать только неотрицательные значения.