Два автомобиля одновременно отправляются в 800-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 36 км/ч большей, чем второй, и прибывает и финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Два автомобиля одновременно отправляются в 800-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 36 км/ч большей, чем второй, и прибывает и финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Рассмотрим задачу о двух автомобилях, которые участвуют в 800-километровом пробеге.
Обозначим скорость второго автомобиля через ( v ) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет ( v + 36 ) км/ч, поскольку он едет на 36 км/ч быстрее второго.
Пусть время, за которое второй автомобиль проходит 800 км, равно ( t ) часам. Тогда время, за которое первый автомобиль проходит те же 800 км, будет равно ( t - 5 ) часам, так как он прибывает на финиш на 5 часов раньше.
Теперь можем записать уравнения для пути, пройденного каждым автомобилем. Путь равен произведению скорости на время:
Для второго автомобиля: [ v \cdot t = 800 ]
Для первого автомобиля: [ (v + 36) \cdot (t - 5) = 800 ]
Теперь у нас есть система двух уравнений: [ \begin{cases} v \cdot t = 800 \ (v + 36) \cdot (t - 5) = 800 \end{cases} ]
Из первого уравнения выразим ( t ): [ t = \frac{800}{v} ]
Подставим это выражение во второе уравнение: [ (v + 36) \left( \frac{800}{v} - 5 \right) = 800 ]
Раскроем скобки: [ (v + 36) \left( \frac{800 - 5v}{v} \right) = 800 ]
Сократим дробь: [ \frac{(v + 36)(800 - 5v)}{v} = 800 ]
Умножим обе части уравнения на ( v ), чтобы избавиться от знаменателя: [ (v + 36)(800 - 5v) = 800v ]
Раскроем скобки: [ 800v - 5v^2 + 28800 - 180v = 800v ]
Упростим уравнение: [ 28800 - 180v - 5v^2 = 0 ]
Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 5v^2 + 180v - 28800 = 0 ]
Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения: [ v^2 + 36v - 5760 = 0 ]
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5760) ] [ D = 1296 + 23040 ] [ D = 24336 ]
Найдем корни уравнения по формуле: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ v = \frac{-36 \pm \sqrt{24336}}{2} ] [ v = \frac{-36 \pm 156}{2} ]
Получаем два корня: [ v = \frac{120}{2} = 60 ] [ v = \frac{-192}{2} = -96 ]
Скорость не может быть отрицательной, поэтому ( v = 60 ) км/ч.
Теперь найдем скорость первого автомобиля: [ v + 36 = 60 + 36 = 96 ] км/ч.
Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 96 км/ч.
Пусть скорость второго автомобиля равна V км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет равна (V + 36) км/ч.
Пусть время, за которое первый автомобиль проходит расстояние, равно Т часов. Тогда время, за которое второй автомобиль проходит это расстояние, будет равно (T + 5) часов.
Так как расстояние равно скорость умноженная на время, получаем два уравнения:
Из первого уравнения найдем выражение для Т: T = 800 / V
Подставим это выражение во второе уравнение: (V + 36) * (800 / V + 5) = 800
Упростим уравнение, раскрыв скобки: 800 + 36800/V + 5V + 180 = 800 36800/V + 5V = -180
36*800 + 5V^2 = -180V 28800 + 5V^2 + 180V = 0 5V^2 + 180V + 28800 = 0 V^2 + 36V + 5760 = 0
Дискриминант уравнения равен: D = 36^2 - 4*5760 = 1296 - 23040 = -21744
Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет решений. Значит, ошибка где-то в расчетах.
Пусть скорость второго автомобиля равна V км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет V + 36 км/ч. Используя формулу расстояния, времени и скорости, получаем уравнение:
800 = V t 800 = (V + 36) (t - 5)
Где t - время в пути второго автомобиля, t - 5 - время в пути первого автомобиля.
Решив систему уравнений, найдем скорость первого автомобиля:
V = 72 км/ч
