Два тракториста, работая совместно, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Сколько времени потребуется каждому...

Пусть время, которое первый тракторист требуется для выполнения работы, равно х часов. Тогда второй тракторист сможет выполнить эту работу за (х + 4) часа.

Зная, что оба работают вместе 2 часа 40 минут (или 2.67 часа), можно составить уравнение:

1/х + 1/(х + 4) = 1/2.67

Упростим уравнение:

(x + 4 + x) / (x * (x + 4)) = 1/2.67

2x + 4 = 2.67x * (x + 4)

2x + 4 = 2.67x^2 + 10.68x

2.67x^2 + 8.68x - 4 = 0

Решая это уравнение, получим:

x ≈ 2.28 ч

Таким образом, первому трактористу потребуется около 2 часов 17 минут для выполнения работы, а второму - около 6 часов 17 минут.

Для решения этой задачи введем переменные и воспользуемся формулой работы.

Обозначим:

• ( x ) — время, за которое второй тракторист может вспахать поле в одиночку (в часах).
• ( x - 4 ) — время, за которое первый тракторист может вспахать поле в одиночку (в часах).

Зная, что оба тракториста, работая совместно, могут вспахать поле за 2 часа 40 минут, переведем это время в часы: [ 2 \, \text{часа} \, 40 \, \text{минут} = 2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \, \text{часа}. ]

Теперь запишем скорость работы каждого тракториста:

• Первый тракторист выполняет (\frac{1}{x-4}) части работы за час.
• Второй тракторист выполняет (\frac{1}{x}) части работы за час.

Совместная работа трактористов за час будет равна сумме их индивидуальных работ: [ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x}. ]

Зная, что они вместе вспахивают поле за (\frac{8}{3}) часа, их совместная работа за час составляет (\frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8}) части работы.

Составим уравнение: [ \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x} = \frac{3}{8}. ]

Приведем левую часть к общему знаменателю: [ \frac{x + (x-4)}{x(x-4)} = \frac{3}{8}, ] [ \frac{2x-4}{x^2 - 4x} = \frac{3}{8}. ]

Умножим обе части уравнения на (8(x^2 - 4x)), чтобы избавиться от дробей: [ 8(2x - 4) = 3(x^2 - 4x), ] [ 16x - 32 = 3x^2 - 12x. ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 3x^2 - 12x - 16x + 32 = 0, ] [ 3x^2 - 28x + 32 = 0. ]

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 784 - 384 = 400, ] [ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20. ]

Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 20}{6}, ] [ x_1 = \frac{28 + 20}{6} = \frac{48}{6} = 8, ] [ x_2 = \frac{28 - 20}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33. ]

Так как ( x ) — время, и оно не может быть меньше 4 часов (поскольку ( x - 4 ) должно быть положительным), принимаем ( x = 8 ).

Итак, второй тракторист может вспахать поле за 8 часов, а первый тракторист — за: [ x - 4 = 8 - 4 = 4 \, \text{часа}. ]

Ответ: Второму трактористу потребуется 8 часов, а первому — 4 часа для вспахивания поля в одиночку.