Две стороны треугольника равны 3метра и 9метра, а угол между ними 60градусов. Найдите третью сторону...

Для решения этой задачи будем использовать теорему косинусов и формулу для нахождения площади треугольника с учетом угла между двумя известными сторонами.

1. Нахождение третьей стороны:

Теорема косинусов утверждает, что для треугольника с сторонами ( a ), ( b ) и ( c ), и углом ( \gamma ) между сторонами ( a ) и ( b ), справедливо следующее уравнение:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

В нашем случае:

• ( a = 3 ) метра,
• ( b = 9 ) метров,
• ( \gamma = 60^\circ ).

Подставим эти значения в уравнение:

[ c^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ) ]

Зная, что (\cos(60^\circ) = 0.5), получаем:

[ c^2 = 9 + 81 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 0.5 ]

[ c^2 = 90 - 27 ]

[ c^2 = 63 ]

Следовательно, ( c = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} ) метров.

1. Нахождение площади треугольника:

Площадь треугольника с двумя известными сторонами и углом между ними можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) ]

В нашем случае:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 \cdot \sin(60^\circ) ]

Зная, что (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

[ S = \frac{27\sqrt{3}}{4} ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна ( 3\sqrt{7} ) метров, а площадь треугольника составляет (\frac{27\sqrt{3}}{4}) квадратных метров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться косинусным законом для нахождения третьей стороны треугольника.

По косинусному закону: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, С - угол между известными сторонами.

Подставляем известные значения: c^2 = 3^2 + 9^2 - 2 3 9 cos(60°), c^2 = 9 + 81 - 54 0.5, c^2 = 90, c = √90 = 3√10.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = 0.5 a b * sin(C), где S - площадь треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между известными сторонами.

Подставляем известные значения: S = 0.5 3 9 sin(60°), S = 0.5 27 √3 / 2, S = 13.5 √3.

Итак, третья сторона треугольника равна 3√10 метров, а площадь треугольника равна 13.5√3 квадратных метров.