Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей и развернуть на плоскости, то получится круговой...

Для нахождения объема конуса необходимо воспользоваться формулой объема конуса V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для начала найдем радиус основания конуса. Так как боковая поверхность конуса разрезана по образующей и развернута на плоскости, получаем, что длина окружности основания конуса равна длине дуги кругового сектора. По формуле длины дуги окружности l = r α, где l - длина дуги, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах. Подставляем известные значения: 4 = r (120 π / 180), откуда находим r = 4 (180 / 120 * π) = 2π см.

Теперь найдем высоту конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора h^2 = r^2 + (l/2)^2, где h - высота конуса, r - радиус основания, l - длина образующей. Подставляем известные значения: h^2 = (2π)^2 + (4/2)^2 = 4π^2 + 4, откуда находим h = √(4π^2 + 4) см.

Теперь подставляем найденные значения радиуса и высоты в формулу объема конуса: V = (1/3) π (2π)^2 * √(4π^2 + 4) = (4/3)π^2√(4π^2 + 4) см^3.

Таким образом, объем этого конуса равен (4/3)π^2√(4π^2 + 4) см^3.

Чтобы найти объём конуса, нам сначала нужно определить его основные параметры: радиус основания и высоту.

1. Найдём длину образующей конуса: Образующая конуса является радиусом кругового сектора, который получился при разворачивании боковой поверхности конуса на плоскости. Длина образующей равна 4 см.

2. Найдём длину дуги кругового сектора: Формула для длины дуги ( L ) сектора с центральным углом (\theta) (в градусах) и радиусом ( r ) равна: [ L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} ] Подставим известные значения: [ L = 2\pi \cdot 4 \cdot \frac{120}{360} = \frac{8\pi}{3} \text{ см} ] Длина этой дуги равна длине окружности основания конуса.

3. Найдём радиус основания конуса: Длина окружности основания конуса ( C ) равна (\frac{8\pi}{3}). Формула длины окружности: ( C = 2\pi R ), где ( R ) — радиус основания конуса. Решим уравнение: [ 2\pi R = \frac{8\pi}{3} ] [ R = \frac{8\pi}{3 \cdot 2\pi} = \frac{4}{3} \text{ см} ]

4. Найдём высоту конуса: Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой ( h ), радиусом основания ( R ), и образующей ( l ): [ l^2 = R^2 + h^2 ] [ 4^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + h^2 ] [ 16 = \frac{16}{9} + h^2 ] [ h^2 = 16 - \frac{16}{9} = \frac{144}{9} - \frac{16}{9} = \frac{128}{9} ] [ h = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \text{ см} ]

5. Вычислим объём конуса: Формула объёма конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h ] Подставим найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3} ] [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{3} ] [ V = \frac{128\pi\sqrt{2}}{81} \text{ кубических сантиметров} ]

Таким образом, объём конуса составляет (\frac{128\pi\sqrt{2}}{81}) кубических сантиметров.