\[ \Frac{4x-25y}{2 \sqrt{x} -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y} \]           при \[ \sqrt{x} + \sqrt{y} =4\]

Чтобы упростить выражение (\frac{4x - 25y}{2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}} - 3 \sqrt{y}) при условии (\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4), начнем с подстановки и упрощения.

1. Введем новые переменные: [ \sqrt{x} = a \quad \text{и} \quad \sqrt{y} = b ] тогда (a + b = 4).

2. Заменим (x) и (y) в исходном выражении: [ x = a^2 \quad \text{и} \quad y = b^2 ]

3. Подставим (a) и (b) в выражение: [ \frac{4a^2 - 25b^2}{2a - 5b} - 3b ]

4. Нам нужно упростить числитель (4a^2 - 25b^2): [ 4a^2 - 25b^2 ] Этот числитель не поддается простому разложению на множители, так что будем работать с выражением как есть.

5. Теперь упростим знаменатель: [ 2a - 5b ]

6. Упростим выражение: [ \frac{4a^2 - 25b^2}{2a - 5b} - 3b ]

Итак, все выражение будет: [ \frac{4a^2 - 25b^2}{2a - 5b} - 3b ]

Теперь используем (a + b = 4), чтобы выразить (b) через (a): [ b = 4 - a ]

Подставим (b = 4 - a) в выражение: [ \frac{4a^2 - 25(4 - a)^2}{2a - 5(4 - a)} - 3(4 - a) ]

Теперь упростим числитель и знаменатель отдельно: [ 4a^2 - 25(16 - 8a + a^2) = 4a^2 - 25(16 - 8a + a^2) = 4a^2 - 400 + 200a - 25a^2 = -21a^2 + 200a - 400 ]

[ 2a - 5(4 - a) = 2a - 20 + 5a = 7a - 20 ]

Так что выражение теперь выглядит следующим образом: [ \frac{-21a^2 + 200a - 400}{7a - 20} - 3(4 - a) ]

Теперь упростим: [ -3(4 - a) = -12 + 3a ]

[ \frac{-21a^2 + 200a - 400}{7a - 20} + 3a - 12 ]

В итоге, выражение упростили до: [ \frac{-21a^2 + 200a - 400}{7a - 20} + 3a - 12 ]

Для дальнейшего упрощения можно попытаться разделить числитель, но это выходит за рамки начального уравнения, так что оставим его в этом виде.

[ -3 ]

Для начала подставим значение [\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4] в выражение [\frac{4x-25y}{2 \sqrt{x} -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}]:

[ \frac{4x-25y}{2 \sqrt{x} -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y} = \frac{4x-25y}{2 \cdot 4 -5 \cdot \sqrt{y} } -3 \sqrt{y} = \frac{4x-25y}{8 -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}]

Далее, воспользуемся тем, что [\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4] можно записать в виде [\sqrt{x} = 4 - \sqrt{y}] и возведем это выражение в квадрат:

[\sqrt{x}^2 = (4 - \sqrt{y})^2] [x = 16 - 8\sqrt{y} + y]

Теперь заменим [x = 16 - 8\sqrt{y} + y] в нашем выражении:

[ \frac{4(16 - 8\sqrt{y} + y) - 25y}{8 -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}] [= \frac{64 - 32\sqrt{y} + 4y - 25y}{8 -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}] [= \frac{-21y + 64 + 4y - 32\sqrt{y}}{8 -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}] [= \frac{-17y + 64 - 32\sqrt{y}}{8 -5 \sqrt{y} } -3 \sqrt{y}]

Это и есть расширенный ответ на данный вопрос.