F(x)=x^2-4x Исследовать и построить график

Для того чтобы исследовать функцию ( F(x) = x^2 - 4x ) и построить её график, следует выполнить несколько шагов: найти область определения, определить точки пересечения с осями, найти производную и исследовать на экстремумы, а также определить поведение функции на концах области определения.

1. Область определения.

Функция ( F(x) = x^2 - 4x ) — это многочлен второй степени, поэтому она определена на всей области действительных чисел, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

1. Пересечения с осями координат.

   • Пересечение с осью ( Oy ) (где ( x = 0 )): [ F(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 ] Точка пересечения: ( (0, 0) ).

   • Пересечение с осью ( Ox ) (где ( F(x) = 0 )): [ x^2 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 4) = 0 ] Решения: ( x = 0 ) и ( x = 4 ). Точки пересечения: ( (0, 0) ) и ( (4, 0) ).

2. Экстремумы и точки перегиба.

   Найдём производную функции: [ F'(x) = 2x - 4 ] Экстремумы находятся в точках, где производная равна нулю: [ 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ] Подставим ( x = 2 ) в исходную функцию, чтобы найти значение в этой точке: [ F(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 ] Таким образом, точка ( (2, -4) ) является кандидатом на экстремум.

   Определим характер экстремума используя вторую производную: [ F''(x) = 2 ] Поскольку вторая производная положительна (( F''(x) > 0 )), это указывает на то, что в точке ( x = 2 ) функция имеет минимум.

3. Поведение функции на концах области определения.

   Исследуем поведение функции при ( x \to \pm\infty ):

   • При ( x \to +\infty ), ( F(x) \to +\infty ).
   • При ( x \to -\infty ), ( F(x) \to +\infty ).

4. Построение графика.

На основании проведённого анализа можно построить график функции:

• Это парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при ( x^2 ) положителен).
• Вершина параболы находится в точке ( (2, -4) ).
• Парабола пересекает ось ( Ox ) в точках ( (0, 0) ) и ( (4, 0) ).
• Пересечение с осью ( Oy ) также в точке ( (0, 0) ).
• При ( x \to \pm\infty ), значения функции стремятся к ( +\infty ).

На основе этих данных можно построить график функции, который будет выглядеть как стандартная парабола с вершиной в точке ( (2, -4) ) и пересечениями с осями в точках ( (0, 0) ) и ( (4, 0) ).

Для исследования функции F(x) = x^2 - 4x сначала найдем ее производную, чтобы определить экстремумы и точки перегиба.

F'(x) = 2x - 4

Экстремумы функции будут находиться в точках, где производная равна нулю:

2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2

Таким образом, экстремум функции F(x) находится в точке x = 2. Далее, чтобы определить его тип (минимум или максимум), можно проанализировать знак производной в окрестностях точки x = 2.

F''(x) = 2, что говорит о том, что экстремум x = 2 является точкой минимума.

Теперь найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную:

F''(x) = 2

Таким образом, функция F(x) = x^2 - 4x имеет точку перегиба в каждой точке.

Для построения графика функции F(x) = x^2 - 4x можно использовать найденные экстремумы и точки перегиба, а также учитывать общий вид параболы. График будет иметь форму параболы с вершиной в точке (2, -4).