геометрической прогрессии (an) a5=1, a7=1/4. Найдите знаменатель прогрессии (an), еслиизвестно, что он положительный. Распишите решение пожалуйста, со всеми формулами.
геометрической прогрессии (an) a5=1, a7=1/4. Найдите знаменатель прогрессии (an), еслиизвестно, что он положительный. Распишите решение пожалуйста, со всеми формулами.
Для нахождения знаменателя прогрессии (an) в данной задаче, нам необходимо использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:
an = a1 * r^(n-1),
где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии.
Из условия задачи известно, что a5 = 1 и a7 = 1/4. Используем формулу общего члена прогрессии для нахождения двух уравнений:
a5 = a1 r^(5-1) = a1 r^4 = 1,
a7 = a1 r^(7-1) = a1 r^6 = 1/4.
Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от a1:
(a1 r^6)/(a1 r^4) = (1/4)/1,
r^2 = 1/4,
r = sqrt(1/4) = 1/2.
Таким образом, знаменатель прогрессии (an) равен 1/2.
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно воспользоваться основным свойством геометрической прогрессии: каждый член прогрессии равен предыдущему члену, умноженному на постоянное число ( q ), называемое знаменателем прогрессии.
Дано:
Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} ]
Для пятого и седьмого членов прогрессии это:
[ a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 \cdot q^4 = 1 ]
[ a_7 = a_1 \cdot q^{7-1} = a_1 \cdot q^6 = \frac{1}{4} ]
Теперь найдём отношение ( \frac{a_7}{a_5} ):
[ \frac{a_7}{a_5} = \frac{a_1 \cdot q^6}{a_1 \cdot q^4} = q^{6-4} = q^2 ]
Подставим известные значения:
[ \frac{1/4}{1} = q^2 ]
[ q^2 = \frac{1}{4} ]
Для нахождения положительного значения ( q ), извлечём квадратный корень:
[ q = \sqrt{\frac{1}{4}} ]
[ q = \frac{1}{2} ]
Таким образом, положительный знаменатель геометрической прогрессии равен ( \frac{1}{2} ).
