Интеграл от -2 до 3 (4х^3-3х^2+2х+1)dx

Для решения данного интеграла необходимо произвести интегрирование по каждому из слагаемых функции. После этого подставить пределы интегрирования и вычислить конечный результат.

Интеграл от 4x^3 dx равен (4/4)x^4 = x^4 Интеграл от -3x^2 dx равен (-3/3)x^3 = -x^3 Интеграл от 2x dx равен 2/2 * x^2 = x^2 Интеграл от 1 dx равен x

Теперь произведем подстановку пределов интегрирования:

При подстановке верхнего предела интегрирования (x = 3) получим: 3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 = 81 - 27 + 9 + 3 = 66

При подстановке нижнего предела интегрирования (x = -2) получим: (-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) = 16 + 8 + 4 - 2 = 26

Итак, интеграл от -2 до 3 (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1)dx равен 66 - 26 = 40.

Чтобы найти определенный интеграл функции (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) от (-2) до (3), нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти неопределенный интеграл Сначала найдем неопределенный интеграл (первообразную) функции (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1).

[ \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx ]

Выполним интегрирование каждого члена функции по отдельности:

1. Интеграл от (4x^3):

[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 ]

1. Интеграл от (3x^2):

[ \int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3 ]

1. Интеграл от (2x):

[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 ]

1. Интеграл от (1):

[ \int 1 \, dx = x ]

Теперь сложим все результаты:

[ \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^4 - x^3 + x^2 + x + C ]

где (C) — произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Найти определенный интеграл Теперь вычислим определенный интеграл от (-2) до (3):

[ \int{-2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ x^4 - x^3 + x^2 + x \right]{-2}^{3} ]

Вычислим значение первообразной функции в точке (x = 3):

[ F(3) = 3^4 - 3^3 + 3^2 + 3 = 81 - 27 + 9 + 3 = 66 ]

Теперь вычислим значение первообразной функции в точке (x = -2):

[ F(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) = 16 + 8 + 4 - 2 = 26 ]

Шаг 3: Найти разность значений первообразной на границах отрезка

Теперь вычислим разность:

[ \int_{-2}^{3} (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx = F(3) - F(-2) = 66 - 26 = 40 ]

Таким образом, определенный интеграл функции (4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) от (-2) до (3) равен (40).