Интеграл от пи/2 до 0 cos^2x dx

Для решения данного интеграла, раскроем косинус в квадрате по формуле двойного угла: cos^2x = (1 + cos(2x))/2

Теперь мы можем выразить данный интеграл в виде двужды взятого интеграла от косинуса и косинуса двойного угла: ∫(pi/2)^0 cos^2x dx = 1/2 * ∫(pi/2)^0 (1 + cos(2x)) dx

После интегрирования получим: 1/2 [x + 1/2 sin(2x)](pi/2)^0 = 1/2 [(0 + 1/2 sin(0)) - (pi/2 + 1/2 * sin(pi))]

Учитывая, что sin(0) = 0 и sin(pi) = 0, получаем: 1/2 * [0 - (pi/2)] = -pi/4

Итак, интеграл от pi/2 до 0 cos^2x dx равен -pi/4.

Чтобы найти интеграл от ( \frac{\pi}{2} ) до 0 для функции ( \cos^2(x) \, dx ), воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами и методами интегрирования.

Первоначально, обратим внимание на тригонометрическое тождество:

[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} ]

Используя это тождество, преобразуем наш интеграл:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx ]

Теперь разделим интеграл на два отдельных интеграла:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2x)) \, dx ]

Далее, разобьем этот интеграл на два более простых интеграла:

[ \frac{1}{2} \left( \int{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx \right) ]

Рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности.

Первый интеграл:

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx ]

Это просто интеграл от константы 1. Его вычисление тривиально:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = x \Big|{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} ]

Теперь второй интеграл:

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx ]

Для этого интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть ( u = 2x ), тогда ( du = 2 \, dx ) или ( dx = \frac{du}{2} ). При изменении пределов интегрирования: когда ( x = 0 ), ( u = 0 ), и когда ( x = \frac{\pi}{2} ), ( u = \pi ).

Таким образом, интеграл становится:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx = \int{0}^{\pi} \cos(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(u) \, du ]

Интеграл от ( \cos(u) ) равен ( \sin(u) ):

[ \frac{1}{2} \int{0}^{\pi} \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \left[ \sin(u) \right]{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\sin(\pi) - \sin(0)) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0 ]

Итак, интеграл от ( \cos(2x) ) на интервале от 0 до ( \frac{\pi}{2} ) равен нулю.

Теперь сложим результаты двух интегралов:

[ \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} ]

Таким образом, интеграл от ( \frac{\pi}{2} ) до 0 для ( \cos^2(x) \, dx ) равен:

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4} ]