Интеграл от пи/2 до 0 cos^2x dx

Для решения данного интеграла, раскроем косинус в квадрате по формуле двойного угла: cos^2x = $1+cos(2x$)/2

Теперь мы можем выразить данный интеграл в виде двужды взятого интеграла от косинуса и косинуса двойного угла: ∫$pi/2$^0 cos^2x dx = 1/2 * ∫$pi/2$^0 $1+cos(2x$) dx

После интегрирования получим: 1/2 [x + 1/2 sin$2x$]$pi/2$^0 = 1/2 [(0 + 1/2 sin$0$) - $pi/2+1/2\ast sin(pi$)]

Учитывая, что sin$0$ = 0 и sin$pi$ = 0, получаем: 1/2 * $0-(pi/2)$ = -pi/4

Итак, интеграл от pi/2 до 0 cos^2x dx равен -pi/4.

Чтобы найти интеграл от $\frac{\pi }{2}$ до 0 для функции ${\cos }^2(x$ \, dx ), воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами и методами интегрирования.

Первоначально, обратим внимание на тригонометрическое тождество:

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

Используя это тождество, преобразуем наш интеграл:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2$x$ \, dx = \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos$2x$}{2} \, dx ]

Теперь разделим интеграл на два отдельных интеграла:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos$2x$}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int{0}^{\frac{\pi}{2}} $1+\cos (2x$) \, dx ]

Далее, разобьем этот интеграл на два более простых интеграла:

[ \frac{1}{2} \left( \int{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos$2x$ \, dx \right) ]

Рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности.

Первый интеграл:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx$

Это просто интеграл от константы 1. Его вычисление тривиально:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = x \Big|{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} ]

Теперь второй интеграл:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos (2x)dx$

Для этого интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть $u=2x$, тогда $du=2dx$ или $dx=\frac{du}{2}$. При изменении пределов интегрирования: когда $x=0$, $u=0$, и когда $x=\frac{\pi }{2}$, $u=\pi$.

Таким образом, интеграл становится:

[ \int{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos$2x$ \, dx = \int{0}^{\pi} \cos$u$ \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos$u$ \, du ]

Интеграл от $\cos (u$ ) равен $\sin (u$ ):

[ \frac{1}{2} \int{0}^{\pi} \cos$u$ \, du = \frac{1}{2} \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}${0}^{\pi} = \frac{1}{2} $\sin (\pi$ - \sin$0$) = \frac{1}{2} $0-0$ = 0 ]

Итак, интеграл от $\cos (2x$ ) на интервале от 0 до $\frac{\pi }{2}$ равен нулю.

Теперь сложим результаты двух интегралов:

$\frac{1}{2}(\frac{\pi }{2}+0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$

Таким образом, интеграл от $\frac{\pi }{2}$ до 0 для ${\cos }^2(x$ \, dx ) равен:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(x)dx=\frac{\pi }{4}$