Иррациональное уравнение √х+1=х-5

Рассмотрим иррациональное уравнение (\sqrt{x} + 1 = x - 5). Наша задача — найти все значения (x), при которых это уравнение выполняется.

Шаг 1: Изолируем иррациональную часть

Уравнение имеет вид: [ \sqrt{x} = x - 5 - 1 ] упростим его: [ \sqrt{x} = x - 6 ]

Шаг 2: Возведение в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: [ (\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2 ] Это упростится до: [ x = (x - 6)^2 ]

Шаг 3: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки справа: [ x = x^2 - 12x + 36 ]

Теперь у нас квадратное уравнение. Перепишем его, приведя все члены на одну сторону: [ x^2 - 13x + 36 = 0 ]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Используем формулу для решения квадратных уравнений (ax^2 + bx + c = 0): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставим значения (a = 1), (b = -13), (c = 36): [ x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} ] [ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ x = \frac{13 \pm 5}{2} ]

Получаем два возможных решения: [ x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 ] [ x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 ]

Шаг 5: Проверка корней

Теперь проверим полученные корни (x = 9) и (x = 4) в исходном уравнении.

1. (x = 9): [ \sqrt{9} + 1 = 9 - 5 ] [ 3 + 1 = 4 ] Это верно.

2. (x = 4): [ \sqrt{4} + 1 = 4 - 5 ] [ 2 + 1 = -1 ] Это неверно.

Таким образом, единственным решением уравнения (\sqrt{x} + 1 = x - 5) является (x = 9).

Для решения данного иррационального уравнения √x + 1 = x - 5 нужно следовать определенным шагам. Начнем с того, что избавимся от корня, изолируя его слева от остальных членов уравнения:

√x = x - 6

Затем возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x = (x - 6)^2

Раскрываем скобки:

x = x^2 - 12x + 36

Теперь приводим уравнение к квадратному виду:

x^2 - 13x + 36 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-13)^2 - 4136 = 169 - 144 = 25

x1,2 = (13 ± √25) / 2 = (13 ± 5) / 2

x1 = 9, x2 = 4

Проверяем корни, подставляя их обратно в исходное уравнение:

При x = 9: √9 + 1 = 9 - 6 => 3 + 1 = 3 => 4 != 3 - неверно

При x = 4: √4 + 1 = 4 - 6 => 2 + 1 = -2 => 3 = -2 - неверно

Следовательно, исходное уравнение √x + 1 = x - 5 не имеет решений в области действительных чисел.

Корень из x плюс 1 равно x минус 5 - иррациональное уравнение.