Исследовать функцию с помощью производной и построить график y=x3 - 6x2

Для исследования функции ( y = x^3 - 6x^2 ) с помощью производной, начнем с нахождения производной функции.

1. Нахождение производной

Найдём производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2) = 3x^2 - 12x ] Теперь можно упростить производную: [ y' = 3x(x - 4) ]

2. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю: [ 3x(x - 4) = 0 ] Решая это уравнение, получаем: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 ]

3. Определение знака производной

Теперь определим знак производной на интервалах, которые образуются стационарными точками:

• Интервал ( (-\infty, 0) )
• Интервал ( (0, 4) )
• Интервал ( (4, +\infty) )

Выберем тестовые точки:

• Для ( x < 0 ) (например, ( x = -1 )): [ y'(-1) = 3(-1)(-1 - 4) = 3(-1)(-5) = 15 > 0 \quad (\text{возрастающая}) ]
• Для ( 0 < x < 4 ) (например, ( x = 2 )): [ y'(2) = 3(2)(2 - 4) = 3(2)(-2) = -12 < 0 \quad (\text{убывающая}) ]
• Для ( x > 4 ) (например, ( x = 5 )): [ y'(5) = 3(5)(5 - 4) = 3(5)(1) = 15 > 0 \quad (\text{возрастающая}) ]

4. Определение характеров стационарных точек

Теперь мы можем определить характер стационарных точек:

• В точке ( x = 0 ) функция меняет знак производной с положительного на отрицательное, значит это локальный максимум.
• В точке ( x = 4 ) функция меняет знак производной с отрицательного на положительное, значит это локальный минимум.

5. Нахождение значений функции в стационарных точках

Теперь найдем значения функции в стационарных точках:

• Для ( x = 0 ): [ y(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0 ]
• Для ( x = 4 ): [ y(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32 ]

6. Исследование на выпуклость

Для исследования выпуклости функции найдём вторую производную: [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x) = 6x - 12 ] Найдём точки, где вторая производная равна нулю: [ 6x - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]

Теперь определим знак второй производной на интервалах:

• Для ( x < 2 ) (например, ( x = 0 )): [ y''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0 \quad (\text{выпуклая вниз}) ]
• Для ( x > 2 ) (например, ( x = 3 )): [ y''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0 \quad (\text{выпуклая вверх}) ]

7. График функции

Собрав все данные:

• Локальный максимум в точке ( (0, 0) )
• Локальный минимум в точке ( (4, -32) )
• Функция выпуклая вниз на интервале ( (-\infty, 2) ) и выпуклая вверх на интервале ( (2, +\infty) )

Теперь можно построить график функции. График будет иметь форму «S», где:

• Начинается в верхнем левом углу, проходит через локальный максимум (0, 0), опускается до локального минимума (4, -32), а затем поднимается.

График функции ( y = x^3 - 6x^2 ) показывает все описанные особенности, и его можно построить с помощью графического калькулятора или программного обеспечения для построения графиков.

Давайте шаг за шагом исследуем функцию ( y = x^3 - 6x^2 ) с помощью производной, чтобы понять ее поведение, найти критические точки, интервалы монотонности, экстремумы, точки перегиба, а затем построить график.

1. Найдем первую производную

Производная функции ( y = x^3 - 6x^2 ) находится следующим образом:

[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) = 3x^2 - 12x ]

2. Найдем критические точки

Критические точки находятся из условия, что первая производная равна нулю:

[ y' = 3x^2 - 12x = 0 ]

Вынесем общий множитель ( 3x ) за скобки:

[ 3x(x - 4) = 0 ]

Таким образом, ( x = 0 ) и ( x = 4 ) — это критические точки.

3. Исследуем знаки первой производной

Для анализа поведения функции (возрастание и убывание) исследуем знаки производной ( y' ) на промежутках, определяемых критическими точками ( x = 0 ) и ( x = 4 ).

Разделим область определения на три промежутка:

• ( (-\infty, 0) ),
• ( (0, 4) ),
• ( (4, +\infty) ).

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в ( y' = 3x^2 - 12x ):

1. На промежутке ( (-\infty, 0) ): возьмем ( x = -1 ). [ y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0 ] Значит, ( y'(x) > 0 ), и функция возрастает.

2. На промежутке ( (0, 4) ): возьмем ( x = 2 ). [ y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 24 = -12 < 0 ] Значит, ( y'(x) < 0 ), и функция убывает.

3. На промежутке ( (4, +\infty) ): возьмем ( x = 5 ). [ y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0 ] Значит, ( y'(x) > 0 ), и функция возрастает.

4. Найдем экстремумы

Из анализа выше видно:

• Функция возрастает на ( (-\infty, 0) ), затем убывает на ( (0, 4) ), и снова возрастает на ( (4, +\infty) ).
• В точке ( x = 0 ) функция меняет характер возрастания на убывание, следовательно, это максимум.
• В точке ( x = 4 ) функция меняет характер убывания на возрастание, следовательно, это минимум.

Найдем значения функции в этих точках:

1. Для ( x = 0 ): [ y(0) = (0)^3 - 6(0)^2 = 0 ] Максимум: ( (0, 0) ).

2. Для ( x = 4 ): [ y(4) = (4)^3 - 6(4)^2 = 64 - 96 = -32 ] Минимум: ( (4, -32) ).

5. Найдем вторую производную

Для исследования выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную функции ( y = x^3 - 6x^2 ):

[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x) = 6x - 12 ]

6. Найдем точки перегиба

Точка перегиба — это точка, где вторая производная ( y'' ) меняет знак. Для этого решим уравнение ( y'' = 0 ):

[ y'' = 6x - 12 = 0 ]

[ x = 2 ]

Теперь проверим знак ( y'' ) на промежутках ( (-\infty, 2) ) и ( (2, +\infty) ):

1. На промежутке ( (-\infty, 2) ): возьмем ( x = 0 ). [ y''(0) = 6(0) - 12 = -12 < 0 ] Значит, на ( (-\infty, 2) ) функция вогнута вниз.

2. На промежутке ( (2, +\infty) ): возьмем ( x = 3 ). [ y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 ] Значит, на ( (2, +\infty) ) функция выпукла вверх.

В точке ( x = 2 ) вторая производная меняет знак, следовательно, ( x = 2 ) — точка перегиба.

Подставим ( x = 2 ) в исходную функцию, чтобы найти координаты точки перегиба: [ y(2) = (2)^3 - 6(2)^2 = 8 - 24 = -16 ] Точка перегиба: ( (2, -16) ).

7. Построение графика

Теперь у нас есть вся информация для построения графика:

1. Функция имеет максимум в точке ( (0, 0) ).
2. Функция имеет минимум в точке ( (4, -32) ).
3. Точка перегиба: ( (2, -16) ).
4. Функция возрастает на ( (-\infty, 0) ) и ( (4, +\infty) ), убывает на ( (0, 4) ).
5. Функция вогнута вниз на ( (-\infty, 2) ) и выпукла вверх на ( (2, +\infty) ).

График

• Нарисуйте оси координат.
• Отметьте ключевые точки: максимум ( (0, 0) ), минимум ( (4, -32) ), точку перегиба ( (2, -16) ).
• Соедините точки, учитывая интервалы возрастания/убывания и выпуклости.

График будет выглядеть как кубическая парабола с максимумом, минимумом и точкой перегиба.