Исследует функцию и постройте ее график y = x^4-4x^3.
Исследует функцию и постройте ее график y = x^4-4x^3.
Для исследования функции ( y = x^4 - 4x^3 ) и построения ее графика, мы выполним следующие шаги:
Функция ( y = x^4 - 4x^3 ) является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой, т.е. ( D(y) = \mathbb{R} ).
Пересечение с осью ( y ): Подставляем ( x = 0 ): [ y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^3 = 0. ] Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 0) ).
Пересечение с осью ( x ): Решаем уравнение ( x^4 - 4x^3 = 0 ): [ x^3 (x - 4) = 0. ] Таким образом, ( x = 0 ) или ( x = 4 ). Точки пересечения с осью ( x ): ( (0, 0) ) и ( (4, 0) ).
Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3) = 4x^3 - 12x^2. ] Рассмотрим уравнение ( y' = 0 ): [ 4x^3 - 12x^2 = 0, ] [ 4x^2 (x - 3) = 0, ] [ x = 0 \text{ или } x = 3. ] Таким образом, критические точки: ( x = 0 ) и ( x = 3 ).
Исследуем знак первой производной на интервалах, разделенных критическими точками: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 3) ), ( (3, \infty) ).
Для ( x \in (-\infty, 0) ): ( y' = 4x^3 - 12x^2 < 0 ) (производная отрицательна, функция убывает).
Для ( x \in (0, 3) ): ( y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) ):
Для ( x \in (3, \infty) ): ( y' = 4x^3 - 12x^2 > 0 ) (производная положительна, функция возрастает).
Таким образом, функция имеет минимум в точке ( x = 0 ) и максимум в точке ( x = 3 ).
Найдем значение функции в этих точках: [ y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^3 = 0, ] [ y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 = 81 - 108 = -27. ]
Найдем вторую производную функции: [ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x. ] Рассмотрим уравнение ( y'' = 0 ): [ 12x^2 - 24x = 0, ] [ 12x(x - 2) = 0, ] [ x = 0 \text{ или } x = 2. ] Таким образом, возможные точки перегиба: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
Исследуем знак второй производной на интервалах, разделенных этими точками: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ), ( (2, \infty) ).
Для ( x \in (-\infty, 0) ): ( y'' = 12x^2 - 24x > 0 ) (вторая производная положительна, функция выпукла вниз).
Для ( x \in (0, 2) ): ( y'' = 12x^2 - 24x < 0 ) (вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх).
Для ( x \in (2, \infty) ): ( y'' = 12x^2 - 24x > 0 ) (вторая производная положительна, функция выпукла вниз).
Таким образом, точки перегиба: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
На основе проведенного анализа:
Теперь можно построить график функции. Выглядит он следующим образом:
В точке ( x = 0 ) функция принимает значение 0 (минимум), а в точке ( x = 3 ) значение -27 (максимум). В точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ) наблюдаются точки перегиба.
График функции проходит через точки: ( (0, 0) ), ( (4, 0) ), ( (3, -27) ).
Для исследования функции y = x^4 - 4x^3 сначала определим ее область определения. Функция определена для всех действительных чисел x, поэтому ее область определения - это множество всех действительных чисел.
Далее проанализируем поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞. При x -> +∞ функция стремится к плюс бесконечности, так как при возрастании x оба члена x^4 и -4x^3 будут расти, но x^4 будет расти быстрее. При x -> -∞ функция также стремится к плюс бесконечности, так как теперь -4x^3 будет доминировать и функция будет уходить в плюс бесконечность.
Теперь найдем производные функции. y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3). Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x^2(x - 3) = 0. Решив это уравнение, получим x = 0 и x = 3. Используя вторую производную, можно определить характер экстремумов.
Теперь построим график функции. Для этого можно использовать программы для построения графиков, такие как Desmos или Wolfram Alpha. График функции y = x^4 - 4x^3 будет иметь форму, характерную для функций четвертой степени, с возможными экстремумами в точках x = 0 и x = 3.
Таким образом, функция y = x^4 - 4x^3 исследована, найдены ее точки экстремума, построен ее график, отражающий основные характеристики этой функции.
Для исследования функции y = x^4 - 4x^3 находим ее производные, точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба, а также строим график.
