Исследуйте функцию f(x)=x^3-3x^2-9x

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ) на экстремумы, нули и промежутки знакопостоянства сначала найдем производную этой функции.

[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 ]

Далее, найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и найдя корни уравнения:

[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 ]

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

[ (x - 3)(x + 1) = 0 ]

[ x = 3 \text{ или } x = -1 ]

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 27 - 27 = -27 ]

[ f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) = -1 - 3 + 9 = 5 ]

Таким образом, точка экстремума (-1, 5) является минимумом функции, а точка (3, -27) - максимумом.

Теперь найдем нули функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ), приравняв ее к нулю:

[ x^3 - 3x^2 - 9x = 0 ]

[ x(x^2 - 3x - 9) = 0 ]

[ x(x - 3)(x + 3) = 0 ]

[ x = 0, x = 3, x = -3 ]

Таким образом, функция имеет нули в точках x = 0, x = 3 и x = -3.

Теперь проанализируем промежутки знакопостоянства функции. Для этого построим знаковую таблицу:

[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -3 & 0 & 3 & +\infty \ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & + \ \hline f(x) & -\infty & 5 & 0 & -27 & -\infty \ \hline \end{array} ]

Из данной таблицы видно, что функция ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ) возрастает на промежутке ((-3, 0)) и ((3, +\infty)), убывает на промежутке ((0, 3)), а также имеет минимум в точке (-1, 5) и максимум в точке (3, -27).

Для исследования функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ) мы последовательно выполним несколько шагов:

1. Найдем область определения функции: Функция ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ) является многочленом, а многочлены определены на всем множестве вещественных чисел, то есть ( D(f) = (-\infty, +\infty) ).

2. Найдем производную функции: Для исследования критических точек и экстремумов функции, найдем её первую производную: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x) = 3x^2 - 6x - 9 ]

3. Найдем критические точки: Критические точки находятся из уравнения ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 6x - 9 = 0 ] Разделим уравнение на 3: [ x^2 - 2x - 3 = 0 ] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ] Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ] [ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 ] Таким образом, критические точки: ( x = 3 ) и ( x = -1 ).

4. Исследуем знаки производной на интервалах: Разделим числовую ось на интервалы: ( (-\infty, -1) ), ( (-1, 3) ) и ( (3, +\infty) ). Проверим знак производной ( f'(x) ) на этих интервалах:

   • На интервале ( (-\infty, -1) ) выберем точку ( x = -2 ): [ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 ]
   • На интервале ( (-1, 3) ) выберем точку ( x = 0 ): [ f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 - 9 = -9 < 0 ]
   • На интервале ( (3, +\infty) ) выберем точку ( x = 4 ): [ f'(4) = 3 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 ]

   Таким образом, на интервале ( (-\infty, -1) ) производная положительна, на интервале ( (-1, 3) ) — отрицательна, а на интервале ( (3, +\infty) ) — снова положительна.

5. Определим экстремумы:

   • В точке ( x = -1 ) функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, значит, в этой точке находится максимум.
   • В точке ( x = 3 ) функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, значит, в этой точке находится минимум.

6. Вычислим значения функции в критических точках: [ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 ] [ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 27 - 27 = -27 ]

   Таким образом, ( f(-1) = 5 ) — максимум, ( f(3) = -27 ) — минимум.

7. Найдем вторую производную функции для анализа выпуклости и вогнутости: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6 ] Решим уравнение ( f''(x) = 0 ): [ 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 ] Это точка перегиба.

   Определим знаки второй производной на интервалах ( (-\infty, 1) ) и ( (1, +\infty) ):

   • На интервале ( (-\infty, 1) ) выберем точку ( x = 0 ): [ f''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6 < 0 ]
   • На интервале ( (1, +\infty) ) выберем точку ( x = 2 ): [ f''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6 > 0 ]

   Таким образом, на интервале ( (-\infty, 1) ) функция вогнута (вторая производная отрицательна), а на интервале ( (1, +\infty) ) — выпукла (вторая производная положительна).

8. Построим график функции: На основании всех проведенных исследований можно построить график функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ). График пересекает ось ( x ) в точках ( x = 0 ), ( x = -3 ), и ( x = 3 ) (найденные корни уравнения ( f(x) = 0 )). Учитывая найденные экстремумы и точки перегиба, а также интервалы возрастания и убывания, можно построить точный график функции.

9. Заключение: Функция ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x ) имеет максимум в точке ( x = -1 ) со значением ( f(-1) = 5 ) и минимум в точке ( x = 3 ) со значением ( f(3) = -27 ). Точка перегиба находится в ( x = 1 ). Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -1) ) и ( (3, +\infty) ), и убывает на интервале ( (-1, 3) ).