Исследуйте функцию и постройте её график: f(x)=-0,5x^2+2x+6

Для исследования функции ( f(x) = -0.5x^2 + 2x + 6 ) следует провести несколько стандартных шагов: найти область определения функции, исследовать её на наличие экстремумов, определить интервалы возрастания и убывания, а также построить график.

1. Область определения

Функция ( f(x) = -0.5x^2 + 2x + 6 ) является квадратичной, следовательно, она определена на всём множестве действительных чисел, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нахождение вершины параболы

Так как функция имеет вид ( ax^2 + bx + c ), где ( a = -0.5 ), ( b = 2 ), ( c = 6 ), вершина параболы находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ).

Подставив значения: [ x = -\frac{2}{2 \times (-0.5)} = 2 ]

Теперь найдём значение функции в этой точке: [ f(2) = -0.5 \times 2^2 + 2 \times 2 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8 ]

Следовательно, вершина параболы находится в точке ( (2, 8) ).

3. Определение направления ветвей параболы

Коэффициент при ( x^2 ) равен (-0.5), что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Интервалы возрастания и убывания

• Функция возрастает на интервале ((-\infty, 2)).
• Функция убывает на интервале ((2, +\infty)).

5. Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение: [ -0.5x^2 + 2x + 6 = 0 ]

Умножим всё уравнение на (-2) для удобства: [ x^2 - 4x - 12 = 0 ]

Решим квадратное уравнение по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = -12 ).

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2 \times 1} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} ] [ x = \frac{4 \pm 8}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 ]

6. Построение графика

График функции — это парабола, которая пересекает ось ( x ) в точках ( x = -2 ) и ( x = 6 ), а ось ( y ) в точке ( y = 6 ) (это значение функции при ( x = 0 )).

7. Итоговое описание

• Вершина параболы: ( (2, 8) )
• Нули функции: ( x = -2 ) и ( x = 6 )
• Парабола открыта вниз
• Интервалы возрастания: ((-\infty, 2))
• Интервалы убывания: ((2, +\infty))

Теперь можно построить график, используя вершину, нули функции и направление ветвей. График будет представлять собой перевёрнутую параболу, проходящую через точки ( (-2, 0) ), ( (6, 0) ) и имеющую вершину в точке ( (2, 8) ).

Для начала исследуем данную функцию на экстремумы. Для этого найдем производную функции f(x): f'(x) = -x + 2

Далее найдем точку, в которой производная равна нулю: -x + 2 = 0 x = 2

Точка x = 2 является точкой экстремума функции. Теперь найдем значение функции в этой точке: f(2) = -0,52^2 + 22 + 6 f(2) = -2 + 4 + 6 f(2) = 8

Таким образом, точка экстремума функции f(x) равна (2, 8). Теперь построим график функции f(x)=-0,5x^2+2x+6.

(На графике функция будет представлена в виде параболы с вершиной в точке (2, 8) и направленной вниз. Также можно отметить, что функция является параболой и симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через точку (2, 8).)