Для исследования функции и построения её графика выполним следующие шаги: нахождение точек пересечения с осями координат, экстремумов, интервалов возрастания и убывания, а также изгибов и интервалов выпуклости и вогнутости.
Точки пересечения с осями координат:
С осью ):
Точка пересечения с осью : ).
С осью ):
Решаем уравнение:
Факторизация:
Решения:
Точки пересечения с осью : ), ), ).
Производная и критические точки:
Найдем первую производную:
Приравниваем к нулю для поиска критических точек:
Решения:
Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения :
Таким образом, точки ) и ) являются критическими точками функции.
Интервалы возрастания и убывания:
Исследуем знак производной:
Вторая производная и точки перегиба:
Вторая производная:
Приравниваем к нулю:
Подставляем в исходное уравнение:
Точка перегиба ).
Интервалы выпуклости и вогнутости:
График функции будет иметь следующие особенности: она проходит через точки ), ), ), ), ), меняет направление возрастания на убывание в точках и , имеет точку перегиба в . График будет симметричен относительно линии и изменит свою кривизну в этой точке.