Исследуйте функцию и постройте ее график: y=x³-3x²+2

Для исследования функции $y=x^3-3x^2+2$ и построения её графика выполним следующие шаги: нахождение точек пересечения с осями координат, экстремумов, интервалов возрастания и убывания, а также изгибов и интервалов выпуклости и вогнутости.

1. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью $y$ $при(x=0$): $y=0^3-3\cdot 0^2+2=2.$ Точка пересечения с осью $y$: $(0,2$ ).

   • С осью $x$ $при(y=0$): $x^3-3x^2+2=0.$ Решаем уравнение: $x^2(x-3)+2=0.$ Факторизация: $(x-1)(x^2-2x-2)=0.$ Решения: $x=1,x=1+\sqrt{3},x=1-\sqrt{3}.$ Точки пересечения с осью $x$: $(1,0$ ), $(1+\sqrt{3},0$ ), $(1-\sqrt{3},0$ ).

2. Производная и критические точки:

   Найдем первую производную: $y^{\prime }=3x^2-6x.$ Приравниваем к нулю для поиска критических точек: $3x^2-6x=0\Rightarrow 3x(x-2)=0.$ Решения: $x=0,x=2.$

   Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$: $y(0)=2,y(2)=-2.$ Таким образом, точки $(0,2$ ) и $(2,-2$ ) являются критическими точками функции.

3. Интервалы возрастания и убывания:

   Исследуем знак производной:

   • $x<0$ или $0<x<2$: $y^{\prime }<0$ $функцияубывает$.
   • $x>2$: $y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$.

4. Вторая производная и точки перегиба:

   Вторая производная: $y^{″}=6x-6.$ Приравниваем к нулю: $6x-6=0\Rightarrow x=1.$ Подставляем в исходное уравнение: $y(1)=1-3+2=0.$ Точка перегиба $(1,0$ ).

5. Интервалы выпуклости и вогнутости:

   • Когда $x<1$: $y^{″}<0$ $функциявыпуклавниз$.
   • Когда $x>1$: $y^{″}>0$ $функциявыпуклавверх$.

График функции будет иметь следующие особенности: она проходит через точки $(0,2$ ), $(1,0$ ), $(2,-2$ ), $(1+\sqrt{3},0$ ), $(1-\sqrt{3},0$ ), меняет направление возрастания на убывание в точках $x=0$ и $x=2$, имеет точку перегиба в $x=1$. График будет симметричен относительно линии $x=1$ и изменит свою кривизну в этой точке.

Для исследования функции y=x³-3x²+2 находим ее производную, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.

1. Найдем производную функции: y'=3x²-6x

2. Найдем точки экстремума: Приравниваем производную к нулю и находим x: 3x²-6x=0 3x$x-2$=0 Таким образом, x=0 и x=2.

3. Найдем значение функции в точках экстремума: y$0$=0³-30²+2=2 y$2$=2³-32²+2=-2

Таким образом, точка экстремума находится в точке $0,2$ и $2,-2$.

1. Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции: y''=6x-6 Приравниваем вторую производную к нулю: 6x-6=0 x=1

2. Построим график функции y=x³-3x²+2:

$вставитьграфик$

На графике видно, что функция имеет точку экстремума в точках $0,2$ и $2,-2$, а также точку перегиба в точке $1,0$.