Исследуйте функцию и постройте ее график: y=x³-3x²+2

Для исследования функции ( y = x^3 - 3x^2 + 2 ) и построения её графика выполним следующие шаги: нахождение точек пересечения с осями координат, экстремумов, интервалов возрастания и убывания, а также изгибов и интервалов выпуклости и вогнутости.

1. Точки пересечения с осями координат:

   • С осью ( y ) (при ( x = 0 )): [ y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2. ] Точка пересечения с осью ( y ): ( (0, 2) ).

   • С осью ( x ) (при ( y = 0 )): [ x^3 - 3x^2 + 2 = 0. ] Решаем уравнение: [ x^2(x - 3) + 2 = 0. ] Факторизация: [ (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0. ] Решения: [ x = 1, \quad x = 1 + \sqrt{3}, \quad x = 1 - \sqrt{3}. ] Точки пересечения с осью ( x ): ( (1, 0) ), ( (1 + \sqrt{3}, 0) ), ( (1 - \sqrt{3}, 0) ).

2. Производная и критические точки:

   Найдем первую производную: [ y' = 3x^2 - 6x. ] Приравниваем к нулю для поиска критических точек: [ 3x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x - 2) = 0. ] Решения: [ x = 0, \quad x = 2. ]

   Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения ( y ): [ y(0) = 2, \quad y(2) = -2. ] Таким образом, точки ( (0, 2) ) и ( (2, -2) ) являются критическими точками функции.

3. Интервалы возрастания и убывания:

   Исследуем знак производной:

   • ( x < 0 ) или ( 0 < x < 2 ): ( y' < 0 ) (функция убывает).
   • ( x > 2 ): ( y' > 0 ) (функция возрастает).

4. Вторая производная и точки перегиба:

   Вторая производная: [ y'' = 6x - 6. ] Приравниваем к нулю: [ 6x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1. ] Подставляем в исходное уравнение: [ y(1) = 1 - 3 + 2 = 0. ] Точка перегиба ( (1, 0) ).

5. Интервалы выпуклости и вогнутости:

   • Когда ( x < 1 ): ( y'' < 0 ) (функция выпукла вниз).
   • Когда ( x > 1 ): ( y'' > 0 ) (функция выпукла вверх).

График функции будет иметь следующие особенности: она проходит через точки ( (0, 2) ), ( (1, 0) ), ( (2, -2) ), ( (1 + \sqrt{3}, 0) ), ( (1 - \sqrt{3}, 0) ), меняет направление возрастания на убывание в точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ), имеет точку перегиба в ( x = 1 ). График будет симметричен относительно линии ( x = 1 ) и изменит свою кривизну в этой точке.

Для исследования функции y=x³-3x²+2 находим ее производную, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.

1. Найдем производную функции: y'=3x²-6x

2. Найдем точки экстремума: Приравниваем производную к нулю и находим x: 3x²-6x=0 3x(x-2)=0 Таким образом, x=0 и x=2.

3. Найдем значение функции в точках экстремума: y(0)=0³-30²+2=2 y(2)=2³-32²+2=-2

Таким образом, точка экстремума находится в точке (0,2) и (2,-2).

1. Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции: y''=6x-6 Приравниваем вторую производную к нулю: 6x-6=0 x=1

2. Построим график функции y=x³-3x²+2:

(вставить график)

На графике видно, что функция имеет точку экстремума в точках (0,2) и (2,-2), а также точку перегиба в точке (1,0).