Исследуйте функцию и постройте ее график: y=x³-3x²+2

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
математика исследование функции построение графика кубическая функция алгебра
0

Исследуйте функцию и постройте ее график:

y=x³-3x²+2

avatar
задан 10 месяцев назад

2 Ответа

0

Для исследования функции y=x33x2+2 и построения её графика выполним следующие шаги: нахождение точек пересечения с осями координат, экстремумов, интервалов возрастания и убывания, а также изгибов и интервалов выпуклости и вогнутости.

  1. Точки пересечения с осями координат:

    • С осью y при(x=0): y=03302+2=2. Точка пересечения с осью y: (0,2 ).

    • С осью x при(y=0): x33x2+2=0. Решаем уравнение: x2(x3)+2=0. Факторизация: (x1)(x22x2)=0. Решения: x=1,x=1+3,x=13. Точки пересечения с осью x: (1,0 ), (1+3,0 ), (13,0 ).

  2. Производная и критические точки:

    Найдем первую производную: y=3x26x. Приравниваем к нулю для поиска критических точек: 3x26x=03x(x2)=0. Решения: x=0,x=2.

    Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y: y(0)=2,y(2)=2. Таким образом, точки (0,2 ) и (2,2 ) являются критическими точками функции.

  3. Интервалы возрастания и убывания:

    Исследуем знак производной:

    • x<0 или 0<x<2: y<0 функцияубывает.
    • x>2: y>0 функциявозрастает.
  4. Вторая производная и точки перегиба:

    Вторая производная: y=6x6. Приравниваем к нулю: 6x6=0x=1. Подставляем в исходное уравнение: y(1)=13+2=0. Точка перегиба (1,0 ).

  5. Интервалы выпуклости и вогнутости:

    • Когда x<1: y<0 функциявыпуклавниз.
    • Когда x>1: y>0 функциявыпуклавверх.

График функции будет иметь следующие особенности: она проходит через точки (0,2 ), (1,0 ), (2,2 ), (1+3,0 ), (13,0 ), меняет направление возрастания на убывание в точках x=0 и x=2, имеет точку перегиба в x=1. График будет симметричен относительно линии x=1 и изменит свою кривизну в этой точке.

avatar
ответил 10 месяцев назад
0

Для исследования функции y=x³-3x²+2 находим ее производную, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.

  1. Найдем производную функции: y'=3x²-6x

  2. Найдем точки экстремума: Приравниваем производную к нулю и находим x: 3x²-6x=0 3xx2=0 Таким образом, x=0 и x=2.

  3. Найдем значение функции в точках экстремума: y0=0³-30²+2=2 y2=2³-32²+2=-2

Таким образом, точка экстремума находится в точке 0,2 и 2,2.

  1. Найдем точки перегиба: Для этого найдем вторую производную функции: y''=6x-6 Приравниваем вторую производную к нулю: 6x-6=0 x=1

  2. Построим график функции y=x³-3x²+2:

вставитьграфик

На графике видно, что функция имеет точку экстремума в точках 0,2 и 2,2, а также точку перегиба в точке 1,0.

avatar
ответил 10 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме

Построить график функции: у=х^2+3
6 месяцев назад olzhaszhumadil
Исследуйте функцию на экстремум y=x^3-3x^2
4 месяца назад Никита2311111о