Исследуйте функцию на экстремум y=x^3-3x^2

Чтобы исследовать функцию ( y = x^3 - 3x^2 ) на экстремум, следуем стандартной процедуре анализа критических точек и использования второй производной.

1. Найдем первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x. ]

2. Найдем критические точки: Для этого приравняем первую производную к нулю: [ 3x^2 - 6x = 0. ] Вынесем общий множитель: [ 3x(x - 2) = 0. ] Отсюда получаем критические точки: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2. ]

3. Исследуем знаки первой производной:

   • Для ( x < 0 ), выберем ( x = -1 ): ( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 ) (положительная).
   • Для ( 0 < x < 2 ), выберем ( x = 1 ): ( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 ) (отрицательная).
   • Для ( x > 2 ), выберем ( x = 3 ): ( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 ) (положительная).

   Таким образом, функция возрастает на интервалах ((-\infty, 0)) и ((2, \infty)), и убывает на интервале ((0, 2)).

4. Найдем вторую производную функции: [ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. ]

5. Определим характер критических точек с помощью второй производной:

   • В точке ( x = 0 ): [ y''(0) = 6(0) - 6 = -6. ] Поскольку ( y''(0) < 0 ), функция имеет локальный максимум в точке ( x = 0 ).

   • В точке ( x = 2 ): [ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6. ] Поскольку ( y''(2) > 0 ), функция имеет локальный минимум в точке ( x = 2 ).

6. Найдем значения функции в критических точках:

   • Для ( x = 0 ): ( y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0 ).
   • Для ( x = 2 ): ( y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4 ).

Таким образом, функция ( y = x^3 - 3x^2 ) имеет локальный максимум в точке ( x = 0 ) с значением ( y = 0 ), и локальный минимум в точке ( x = 2 ) с значением ( y = -4 ).

Для исследования функции y=x^3-3x^2 на экстремумы необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Найдем производную функции y=x^3-3x^2: y' = 3x^2 - 6x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 0 и x = 2

Теперь найдем значения y в точках экстремума:

1. При x = 0: y(0) = 0^3 - 3*0^2 = 0

2. При x = 2: y(2) = 2^3 - 3*2^2 = 8 - 12 = -4

Итак, функция y=x^3-3x^2 имеет точку локального максимума при x = 0 (y = 0) и точку локального минимума при x = 2 (y = -4).