Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y=x^2 ln x

Для исследования функции y=x^2 ln x на возрастание (убывание) и наличие экстремумов, необходимо найти производную этой функции.

Найдем производную функции y=x^2 ln x с помощью правила дифференцирования произведения:

y' = (x^2)' ln x + x^2 (ln x)' = 2x ln x + x^2 * (1/x) = 2x ln x + x

Теперь, чтобы исследовать функцию на возрастание (убывание) и найти экстремумы, необходимо найти точки, где производная равна нулю или не существует.

2x ln x + x = 0

x(2 ln x + 1) = 0

x = 0 или ln x = -1/2

x = 0 или x = e^(-1/2) = 1/sqrt(e)

Теперь вычислим вторую производную функции:

y'' = (2x ln x + x)' = 2ln x + 2 + x/x = 2ln x + 3

Теперь подставим найденные значения x = 0 и x = 1/sqrt(e) во вторую производную:

y''(0) = 2ln 0 + 3 = 3 (не существует)

y''(1/sqrt(e)) = 2ln(1/sqrt(e)) + 3 = 2(-1/2) + 3 = 2 - 1 + 3 = 4 > 0

Таким образом, функция y=x^2 ln x имеет экстремум в точке x = 1/sqrt(e) и является возрастающей на интервале (1/sqrt(e), +∞) и убывающей на интервале (0, 1/sqrt(e)).

Чтобы исследовать функцию ( y = x^2 \ln x ) на возрастание и убывание, а также найти её экстремумы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции

Функция ( y = x^2 \ln x ) определена при ( x > 0 ), так как логарифм натуральный ( \ln x ) определён только для положительных значений ( x ).

2. Найти первую производную

Для исследования на возрастание и убывание, найдём первую производную функции. Применим правило дифференцирования произведения:

[ y = x^2 \ln x ]

Пусть ( u = x^2 ) и ( v = \ln x ). Тогда:

[ y' = u'v + uv' ]

где ( u' = 2x ) и ( v' = \frac{1}{x} ).

Подставим в формулу:

[ y' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x ]

Таким образом, первая производная функции:

[ y' = x(2 \ln x + 1) ]

3. Найти критические точки

Критические точки находятся из условия ( y' = 0 ):

[ x(2 \ln x + 1) = 0 ]

Поскольку ( x > 0 ), уравнение ( x = 0 ) не имеет смысла. Решим уравнение:

[ 2 \ln x + 1 = 0 ]

[ 2 \ln x = -1 ]

[ \ln x = -\frac{1}{2} ]

[ x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} ]

4. Исследовать знаки первой производной

Рассмотрим знаки первой производной на интервалах, определённых критической точкой ( x = \frac{1}{\sqrt{e}} ).

• Для ( x \in \left( 0, \frac{1}{\sqrt{e}} \right) ): ( 2 \ln x + 1 < 0 ), значит, ( y' < 0 ). Функция убывает.
• Для ( x \in \left( \frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty \right) ): ( 2 \ln x + 1 > 0 ), значит, ( y' > 0 ). Функция возрастает.

5. Найти экстремумы

Так как функция убывает на интервале ( \left( 0, \frac{1}{\sqrt{e}} \right) ) и возрастает на интервале ( \left( \frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty \right) ), точка ( x = \frac{1}{\sqrt{e}} ) является точкой минимума.

Подставим ( x = \frac{1}{\sqrt{e}} ) в исходную функцию, чтобы найти значение минимума:

[ y\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \ln \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e} ]

Таким образом, функция ( y = x^2 \ln x ) имеет минимум в точке ( x = \frac{1}{\sqrt{e}} ) с минимальным значением ( y = -\frac{1}{2e} ).