Исследуйте функцию y=(x-3)/x, где x>0 на ограниченность. Вроде бы должно быть легко, но чего-то я...

Давайте разберемся вместе. Для исследования ограниченности функции y=(x-3)/x при x>0, необходимо рассмотреть ее поведение при стремлении x к нулю и к бесконечности.

1. При x→0 функция y=(x-3)/x принимает вид y=(-3)/0, что является неопределенностью типа "бесконечность на ноль". Поэтому функция не ограничена при x→0.

2. При x→∞ функция y=(x-3)/x принимает вид y=1-(3/x), что при стремлении x к бесконечности дает значение y=1. Таким образом, функция ограничена при x→∞ значением y=1.

Итак, функция y=(x-3)/x не ограничена при x→0, но ограничена значением y=1 при x→∞. Надеюсь, это поможет вам разобраться. Если у вас еще остались вопросы, не стесняйтесь задавать.

Для исследования функции ( y = \frac{x-3}{x} ) на ограниченность при ( x > 0 ) начнем с упрощения функции:

[ y = \frac{x-3}{x} = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 1 - \frac{3}{x}. ]

Теперь рассмотрим поведение этой функции на интервале ( x > 0 ).

1. Поведение функции при ( x \to 0^+ ):

   • Заметим, что при ( x \to 0^+ ) (x стремится к нулю справа), дробь ( \frac{3}{x} ) стремится к бесконечности, поскольку знаменатель стремится к нулю, а числитель остается константой.
   • Таким образом, ( y = 1 - \frac{3}{x} ) стремится к ( -\infty ).

2. Поведение функции при ( x \to \infty ):

   • При ( x \to \infty ), дробь ( \frac{3}{x} ) стремится к нулю, так как знаменатель увеличивается, а числитель остается константой.
   • Следовательно, ( y = 1 - \frac{3}{x} ) приближается к 1.

Из этих двух наблюдений видно, что функция не ограничена сверху или снизу на интервале ( x > 0 ). Конкретно, функция принимает сколь угодно большие отрицательные значения, когда ( x ) приближается к 0, и приближается к 1, когда ( x ) увеличивается до бесконечности, но ниже значения 1 она не поднимается. Таким образом, функция не имеет ни верхней, ни нижней границы на данном интервале, то есть она не ограничена.

Функция y=(x-3)/x ограничена при x>0, так как при x=0 функция не определена (деление на ноль).