Исследуйте на экстремум функцию ( плииз с подробным решением) f(x)= x^2+3x

Для исследования функции ( f(x) = x^2 + 3x ) на экстремум, необходимо найти критические точки и определить характер этих точек. Давайте подробно рассмотрим шаги, необходимые для этого анализа.

Шаг 1: Найдите производную функции

Первым шагом будет нахождение первой производной функции, так как критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3. ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся, решая уравнение ( f'(x) = 0 ).

[ 2x + 3 = 0. ]

Решим это уравнение:

[ 2x = -3, ]

[ x = -\frac{3}{2}. ]

Таким образом, ( x = -\frac{3}{2} ) является критической точкой.

Шаг 3: Исследуйте характер критической точки

Для определения характера критической точки (является ли она минимумом или максимумом), используем вторую производную.

Найдём вторую производную функции ( f(x) ):

[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 3) = 2. ]

Поскольку вторая производная постоянна и равна 2 (что больше нуля), это указывает на то, что функция ( f(x) ) имеет в точке ( x = -\frac{3}{2} ) локальный минимум.

Шаг 4: Найдите значение функции в критической точке

Теперь найдём значение функции в найденной критической точке ( x = -\frac{3}{2} ):

[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right). ]

Вычислим:

[ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}. ]

Приведём к общему знаменателю:

[ = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4}. ]

Вывод

Функция ( f(x) = x^2 + 3x ) имеет локальный минимум в точке ( x = -\frac{3}{2} ), и значение функции в этой точке равно ( -\frac{9}{4} ). Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен), это также является глобальным минимумом для всей функции.

Для исследования функции f(x) = x^2 + 3x на экстремумы необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

f(x) = x^2 + 3x

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x + 3

Теперь приравняем производную к нулю:

2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2

Таким образом, найдена точка экстремума x = -3/2.

Для определения типа экстремума (минимум или максимум), можно использовать вторую производную.

Найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 2

Поскольку вторая производная положительна (f''(x) = 2 > 0), то точка x = -3/2 является точкой минимума функции f(x).

Таким образом, функция f(x) = x^2 + 3x имеет точку минимума при x = -3/2.