Из 100 студентов английский язык знают 28 студентов, немецкий - 30, французский - 42, английский и немецкий...

Для решения данной задачи воспользуемся формулой включений-исключений. Обозначим: A - студенты, знающие английский B - студенты, знающие немецкий C - студенты, знающие французский

Тогда по формуле включений-исключений:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A ∪ B ∪ C| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80

Таким образом, всего 80 студентов знают хотя бы один из языков. Из общего числа студентов (100) вычитаем количество студентов, знающих хотя бы один язык:

100 - 80 = 20

Ответ: 20 студентов не знают ни одного из трех языков.

Для решения этой задачи воспользуемся методом включений и исключений, который позволяет учитывать пересечения множеств.

Обозначим:

• ( A ) — множество студентов, знающих английский язык.
• ( B ) — множество студентов, знающих немецкий язык.
• ( C ) — множество студентов, знающих французский язык.

Даны следующие данные:

• ( |A| = 28 )
• ( |B| = 30 )
• ( |C| = 42 )
• ( |A \cap B| = 8 )
• ( |A \cap C| = 10 )
• ( |B \cap C| = 5 )
• ( |A \cap B \cap C| = 3 )

Нам нужно найти количество студентов, которые не знают ни одного языка, то есть количество студентов, которые не входят ни в одно из множеств ( A ), ( B ) и ( C ).

Используем формулу включений и исключений для трёх множеств: [ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Подставим значения: [ |A \cup B \cup C| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 ]

Выполним арифметические действия: [ |A \cup B \cup C| = 28 + 30 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 80 ]

Таким образом, 80 студентов знают хотя бы один из трёх языков. Теперь, чтобы найти количество студентов, которые не знают ни одного языка, вычтем это число из общего количества студентов:

[ 100 - |A \cup B \cup C| = 100 - 80 = 20 ]

Итак, 20 студентов не знают ни одного языка.

Не знают ни одного языка 12 студентов.