Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км,выехал автобус, а через 15 минут вслед за ним...

Для решения задачи введем переменные и воспользуемся формулой пути, которая связана со временем и скоростью:
[ s = v \cdot t, ] где ( s ) — путь, ( v ) — скорость, ( t ) — время.

Дано:

1. Расстояние между городами ( AB = 120 \, \text{км} ).
2. Автобус выехал первым со скоростью ( v \, \text{км/ч} ).
3. Через 15 минут (или ( \frac{1}{4} \, \text{ч} )) за ним выехал автомобиль со скоростью ( v + 12 \, \text{км/ч} ).
4. Автомобиль приехал в город В на 5 минут (или ( \frac{1}{12} \, \text{ч} )) раньше автобуса.

Требуется найти скорость автобуса ( v ).

Шаг 1. Время в пути для автобуса и автомобиля

Обозначим время, за которое автобус проходит расстояние ( 120 \, \text{км} ), через ( t \, \text{ч} ). Тогда:

• Время в пути автобуса: ( t ).
• Время в пути автомобиля: ( t - \frac{1}{12} ), так как автомобиль прибыл на 5 минут раньше.

Шаг 2. Расстояние, пройденное автомобилем

Автомобиль выехал на ( \frac{1}{4} \, \text{ч} ) позже автобуса, поэтому фактическое время движения автомобиля составит ( t - \frac{1}{4} ). За это время автомобиль прошел то же расстояние, что и автобус (120 км). Таким образом, для автомобиля: [ 120 = (v + 12) \cdot \left(t - \frac{1}{4}\right). ]

Шаг 3. Расстояние, пройденное автобусом

Автобус также прошел 120 км за время ( t ). Для автобуса: [ 120 = v \cdot t. ]

Шаг 4. Решение системы уравнений

Из второго уравнения выразим ( t ) через ( v ): [ t = \frac{120}{v}. ]

Подставим это выражение для ( t ) в первое уравнение: [ 120 = (v + 12) \cdot \left(\frac{120}{v} - \frac{1}{4}\right). ]

Раскроем скобки: [ 120 = (v + 12) \cdot \left(\frac{120}{v}\right) - (v + 12) \cdot \frac{1}{4}. ]

Раскладываем каждую часть: [ 120 = \frac{120(v + 12)}{v} - \frac{v + 12}{4}. ]

Упростим дроби: [ 120 = \frac{120v + 1440}{v} - \frac{v + 12}{4}. ]

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — ( 4v ): [ 120 = \frac{4(120v + 1440) - v(v + 12)}{4v}. ]

Раскроем скобки в числителе: [ 120 = \frac{480v + 5760 - v^2 - 12v}{4v}. ]

Соберем всё в числителе: [ 120 = \frac{-v^2 + 468v + 5760}{4v}. ]

Умножим обе части на ( 4v ), чтобы избавиться от дроби: [ 480v = -v^2 + 468v + 5760. ]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: [ v^2 - 12v - 5760 = 0. ]

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Решим уравнение ( v^2 - 12v - 5760 = 0 ) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5760). ]

[ D = 144 + 23040 = 23184. ]

Найдём корни уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{23184}}{2 \cdot 1}. ]

[ v = \frac{12 \pm \sqrt{23184}}{2}. ]

Вычислим ( \sqrt{23184} ) приближённо: [ \sqrt{23184} \approx 152.3. ]

Тогда: [ v = \frac{12 + 152.3}{2} \quad \text{или} \quad v = \frac{12 - 152.3}{2}. ]

Первый корень: [ v = \frac{164.3}{2} = 82.15. ]

Второй корень: [ v = \frac{-140.3}{2} = -70.15 \, \text{(отрицательная скорость не имеет смысла)}. ]

Ответ:

Скорость автобуса ( v \approx 82 \, \text{км/ч} ).

Давайте обозначим скорость автобуса как ( v ) км/ч. Тогда скорость автомобиля будет ( v + 12 ) км/ч.

Автобус выехал на 15 минут раньше автомобиля. Это означает, что он проехал ( \frac{15}{60} ) часа, что равно ( \frac{1}{4} ) часа, прежде чем автомобиль начал движение. За это время автобус проехал:

[ d_{автобуса} = v \cdot \frac{1}{4} = \frac{v}{4} \text{ км}. ]

Теперь, после того как автобус проехал ( \frac{v}{4} ) км, ему осталось доехать до города В:

[ 120 - \frac{v}{4} \text{ км}. ]

Автобус доходит до города В на ( t_{автобуса} ) часов, который можно найти, используя формулу:

[ t_{автобуса} = \frac{120 - \frac{v}{4}}{v}. ]

Теперь рассмотрим автомобиль. Он выехал на 15 минут позже автобуса, но прибыл в город В на 5 минут позже автобуса. Это означает, что время в пути для автомобиля на 20 минут (15 + 5) меньше времени в пути автобуса.

Таким образом, время в пути для автомобиля ( t_{автомобиля} ) будет:

[ t{автомобиля} = t{автобуса} - \frac{20}{60} = t_{автобуса} - \frac{1}{3} \text{ часа}. ]

Время в пути для автомобиля можно выразить как:

[ t_{автомобиля} = \frac{120}{v + 12}. ]

Теперь подставим выражение для ( t_{автобуса} ):

[ \frac{120}{v + 12} = \frac{120 - \frac{v}{4}}{v} - \frac{1}{3}. ]

Умножим обе стороны на ( v(v + 12) ) для устранения дробей:

[ 120v = (120 - \frac{v}{4})(v + 12) - \frac{1}{3} v(v + 12). ]

Теперь упростим правую часть уравнения. Раскроем скобки:

[ (120 - \frac{v}{4})(v + 12) = 120v + 1440 - \frac{v^2}{4} - 3v, ]

где ( -\frac{1}{3} v(v + 12) = -\frac{1}{3} v^2 - 4v ).

Теперь собираем всё вместе:

[ 120v = 120v + 1440 - \frac{v^2}{4} - 3v - \frac{1}{3} v^2 + 4v. ]

Упрощаем:

[ 0 = 1440 - \frac{v^2}{4} - \frac{1}{3} v^2 + v. ]

Перепишем уравнение в более удобной форме. Приведём дроби к общему знаменателю:

[ 0 = 1440 - \left(\frac{3v^2}{12} + \frac{4v^2}{12}\right) + v, ]

где ( \frac{1}{3} v^2 = \frac{4v^2}{12} ).

Теперь:

[ 0 = 1440 - \frac{7v^2}{12} + v. ]

Умножим всё на 12, чтобы избавиться от дробей:

[ 0 = 17280 - 7v^2 + 12v. ]

Перепишем уравнение:

[ 7v^2 - 12v - 17280 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-17280) = 144 + 483840 = 483984. ]

Теперь найдем корни:

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{483984}}{14}. ]

Вычислим ( \sqrt{483984} ):

[ \sqrt{483984} \approx 696.4. ]

Теперь подставим это значение:

[ v = \frac{12 \pm 696.4}{14}. ]

Решения будут:

1. ( v_1 = \frac{708.4}{14} \approx 50.6 ) км/ч.
2. ( v_2 = \frac{-684.4}{14} ) (отрицательное значение игнорируем).

Таким образом, скорость автобуса составляет примерно 50.6 км/ч.