Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами...

Чтобы определить количество способов выбрать 3 краски из набора, состоящего из 15 красок, нужно воспользоваться комбинаторикой, а именно формулой для вычисления числа сочетаний без повторений.

Число сочетаний, обозначаемое как ( C(n, k) ) или ( \binom{n}{k} ), определяется как количество способов выбрать ( k ) элементов из ( n ) элементов, где порядок не имеет значения. Формула для числа сочетаний выглядит следующим образом:

[ C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В нашем случае ( n ) (общее количество красок) равно 15, а ( k ) (количество красок, которые мы выбираем) равно 3. Подставим эти значения в формулу:

[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} ]

Теперь нужно вычислить факториалы:

• ( 15! ) — это произведение всех целых чисел от 1 до 15.
• ( 3! ) — это произведение всех целых чисел от 1 до 3.
• ( 12! ) — это произведение всех целых чисел от 1 до 12.

Однако вместо вычисления полных факториалов, можно сократить выражение. Заметим, что ( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12! ), и ( 12! ) в числителе и знаменателе сокращается:

[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3! \times 12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!} ]

Теперь вычислим ( 3! ):

[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 ]

Остается разделить произведение чисел 15, 14 и 13 на 6:

[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{6} ]

Выполним вычисления поэтапно:

[ 15 \times 14 = 210 ]

[ 210 \times 13 = 2730 ]

Теперь разделим 2730 на 6:

[ \frac{2730}{6} = 455 ]

Таким образом, количество способов выбрать 3 краски из 15 равно 455.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой сочетаний. В данном случае нам нужно выбрать 3 краски из 15, то есть число способов можно найти по формуле сочетаний: C(15,3) = 15! / (3! * (15-3)!) = 455.

Таким образом, существует 455 способов выбрать 3 краски из набора из 15 красок для окрашивания шкатулки.